Studiare la commutatività.

[Pasquale 90]

Buonasera,

Sia una legge associativa $cdot$ in $S$.
Se ogni $x in S\ :\ x cdot x cdot x=x$ e $x cdotx in Z(S)$, dove $Z(S)$ centro di $S.$
L'esercizio chiede $cdot$ è commutativa ?

Procedo cosi:
$qquad cdot$ è commutativa se e solo $Z(S)=S$
$Z(S)$ è una parte non vuota di $S$, poiché $x cdotx in Z(S) ne emptyset$, quindi $Z(S) subseteq S$ è provata.
Sia $x in S$, chiedersi se $x$ è centrale equivale a chiedersi se $x$ è pemutabile con ogni elemento di $S$, ossia

$xcdoty=ycdotx$ per ogni $y in S$

considerando le ipotesi, risulta:
$xcdoty=(xcdotxcdotx)cdot(ycdotycdoty)=(xcdot(xcdotx))cdot((ycdoty)cdoty))=xcdot((xcdotx)cdot(ycdoty))cdoty=xcdot((ycdoty)cdot(xcdotx))cdoty=(xcdot(ycdoty))cdot((xcdotx)cdoty)=(xcdot(ycdoty))cdot(ycdot(xcdotx))=((ycdoty)cdotx)cdot((xcdotx)cdoty)=(ycdotycdot(xcdot(xcdotx))cdoty)=(ycdotycdoty)cdot(xcdotxcdotx)=ycdotx$

[hydro]

Come giustifichi la penultima uguaglianza?

[Pasquale 90]

Dal fatto che $xcdotx in Z(S)$, inoltre, $x$ è permutabile con se stesso, ossia $xcdotx=xcdotx\,\ forall x in S.$
Poiché $Z(S)$ è stabile, presi $x, (xcdotx) in Z(S)$ si ottiene $(xcdot(xcdotx)) in Z(S).$
$(xcdot(xcdotx)) in Z(S)$ equivale a dire che $(xcdot(xcdotx))$ è permutabile con ogni elemento di $S$, in particolare con $y in S$.
Quindi ottengo la penultima uguaglianza.
Non sono sicuro ovviamente.

[hydro]

Poiché $Z(S)$ è stabile, presi $x, (xcdotx) in Z(S)$ si ottiene $(xcdot(xcdotx)) in Z(S).$

Questo è sicuramente vero, ma se assumi che $x\in Z(S)$ l'esercizio diventa una trivialità.

Quello che puoi invece usare è che

$y^2\cdot x \cdot x^2\cdot y=y^2\cdot x \cdot y\cdot x^2=y\cdot (yx)^2\cdot x=(yx)^3=yx$.

[Pasquale 90]

Non vorrei dire sciocchezze, ma si dovrebbero prima definire le potenze, perché $y^2$ non so cosa potrebbe significare, inoltre cosa vuoi dire con

ma se assumi che $ x\in Z(S) $ l'esercizio diventa una trivialità.

Se ho interpretato in modo corretto il tuo messaggio, tutti quei passaggi l'ho fatti per far vedere in particolare l'associatività.

Ciao

[hydro]

$x^n$ è semplicemente $x\cdot\ldots \cdot x$ $n$ volte, le parentesi non servono perchè l'operazione è associativa.

Io ti ho chiesto come giustifichi quel passaggio, e tu mi hai detto:

Poiché $ Z(S) $ è stabile, presi $ x, (xcdotx) in Z(S) $ si ottiene $ (xcdot(xcdotx)) in Z(S)$.

Questo è vero, ma chi ti dice che $x\in Z(S)$ nel tuo esercizio? Provare che $x\in Z(S)$ per ogni $x$ è la tesi, non la puoi usare come parte della dimostrazione altrimenti il ragionamento è circolare.

Inoltre, nota come la tua affermazione di sopra, per quanto vera non contiene nessuna informazione da punto di vista logico: siccome in $S$ si ha per ipotesi che $x^3=x$, quello che dici tu è equivalente a: "Poiché $ Z(S) $ è stabile, presi $ x, (xcdotx) in Z(S) $ si ottiene $ x in Z(S)$".

[Pasquale 90]

A voler essere pignoli $S$ potrebbe pure essere lui stesso il vuoto

Ehh va beh che senso avrebbe parlare di qualcosa che non esiste

Io non voglio fare il precisino... semplicemente non mi risulta chiara la terzultima uguaglianza fatta da hydro

[hydro]

A voler essere pignoli $S$ potrebbe pure essere lui stesso il vuoto

Ehh va beh che senso avrebbe parlare di qualcosa che non esiste

Svariati matematici sono morti dopo questa affermazione.

Io non voglio fare il precisino... semplicemente non mi risulta chiara la terzultima uguaglianza fatta da hydro

$y^2\cdot x \cdot y\cdot x^2=y\cdot(y\cdot x)\cdot(y\cdot x)\cdot x=y\cdot (yx)^2\cdot x $

meglio ora?

[Pasquale 90]

Ahahahah...

Comunque grazie per l'aiuto, buona giornata.