Disequazione Goniometrica

[Pemberton!]

Ciao a tutti

Mi sono bloccato in questo esercizio:

$3sen(x)cos(x) - sqrt(3)cos^2(x) < 3sen(x) - sqrt(3)cos(x)$

vi scrivo come ho proceduto

$3sen(x)cos(x) - 3sen(x) < sqrt(3)cos^2(x) - sqrt(3)cos(x)$

$3sen(x)(cos(x)-1) < sqrt(3)cos(x)(cos(x)-1)$

$(cos(x)-1)(3sen(x)-sqrt(3)cos(x)) <0$

1) $cos(x)>1$ per nessuna x appartenente ad R

2) $3sen(x)-sqrt(3)cos(x)>0$

ho pensato di usare la regola dell'angolo aggiunto, ma non ho ben capito come fare quando a secondo membro mi trovo zero.

$ sen(a) = 1/2 $

$ cos(a) = sqrt(3)/2 $

l'angolo a è $ pi/6 $

adesso $

sen(x+a)= 0/(2*sqrt(3)) = 0$

poi non riesco a procedere. come si continua ? si dovrebbe uguagliare

$x+ pi/6 = sen(x+a)$

Ma non avendo sen(x+a), come faccio ?

Le soluzioni dovrebbero essere

$pi/6 + 2kpi < x < 7/6 pi + 2kpi$

[3m0o]

1) $cos(x)>1$ per nessuna x appartenente ad R

2) $3sen(x)-sqrt(3)cos(x)>0$

ho pensato di usare la regola dell'angolo aggiunto, ma non ho ben capito come fare quando a secondo membro mi trovo zero.

$ sen(a) = 1/2 $

$ cos(a) = sqrt(3)/2 $

l'angolo a è $ pi/6 $

Bene! Fino a qui il procedimento è corretto! Ma temo tu non abbia capito il senso dell'angolo aggiunto.

$ x+ pi/6 = sen(x+a) $

Ma non avendo sen(x+a), come faccio ?

Questa cosa è scorretta, anche perché \(\alpha \) te lo sei appena calcolato sopra.
Ti ritrovi giustamente a dover risolvere \( 3 \sin(x) - \sqrt{3} \cos(x) > 0 \). Ora moltiplichiamo tutto per \( \frac{1}{2 \sqrt{3}} \) per ottenere
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x) >0 \]
Giustamente tu ti domandi se esiste un angolo \( \alpha \) tale che \( \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \) e \( \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
In questo modo puoi scrivere
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x) = \cos(\alpha)\sin(x) - \sin(\alpha) \cos(x) = \sin(x- \alpha ) > 0 \]

E giustamente trovi che \( \alpha = \pi/6\). Ora riscrivi questa nuova informazione...
\[ \sin(x- \pi/6) > 0 \]
e da qui penso tu sappia continuare.

[Pemberton!]

Questa cosa è scorretta, anche perché \(\alpha \) te lo sei appena calcolato sopra.
Ti ritrovi giustamente a dover risolvere \( 3 \sin(x) - \sqrt{3} \cos(x) > 0 \). Ora moltiplichiamo tutto per \( \frac{1}{2 \sqrt{3}} \) per ottenere
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x) >0 \]

Ok e fin qui ci sono ma da qui

Giustamente tu ti domandi se esiste un angolo \( \alpha \) tale che \( \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \) e \( \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
In questo modo puoi scrivere
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x) = \cos(\alpha)\sin(x) - \sin(\alpha) \cos(x) = \sin(x- \alpha ) > 0 \]

non ho più capito cosa hai fatto e/o come hai ragionato.


E giustamente trovi che \( \alpha = \pi/6\). Ora riscrivi questa nuova informazione...
\[ \sin(x- \pi/6) > 0 \]
e da qui penso tu sappia continuare.[/quote]

si saprei continuare da qui, porrei $x>pi/6$, farei il prodotto delle soluzioni tra questo appena calcolato e il "per nessuna x appartenente ad R" e probabilmente mi troverei.. ora controllo, ma resta il fatto che non ho capito i tuoi passaggi.

Esiste un modo per risolverlo come con il sistema per equazioni lineari per le equazioni goniometriche, però per le disequazioni?

[3m0o]

Giustamente tu ti domandi se esiste un angolo \( \alpha \) tale che \( \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \) e \( \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
In questo modo puoi scrivere
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x) = \cos(\alpha)\sin(x) - \sin(\alpha) \cos(x) = \sin(x- \alpha ) > 0 \]

non ho più capito cosa hai fatto e/o come hai ragionato.

1)
Sei d'accordo che risolvere
\[ 3 \sin(x) - \sqrt{3} \cos(x) > 0 \]
è equivalente a risolvere
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x) > 0 \]
?

2)
Ora se \( \cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) e \( \sin(\pi/6) = \frac{1}{2} \) risolvere
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x) > 0 \]
è equivalente a risolvere
\[ \cos(\pi/6)\sin(x) - \sin(\pi/6) \cos(x) > 0 \]

3) ho usato la nota formula trigonometrica della differenza degli angoli del seno \( \sin(x-y) = \sin(x)\cos(y) - \sin(y) \cos(x) \)
per riscrivere questa
\[ \cos(\pi/6)\sin(x) - \sin(\pi/6) \cos(x) > 0 \]
nel seguente modo
\[ \sin(x-\pi/6) > 0 \]

si saprei continuare da qui, porrei $x>pi/6$, farei il prodotto delle soluzioni tra questo appena calcolato e il "per nessuna x appartenente ad R" e probabilmente mi troverei.. ora controllo, ma resta il fatto che non ho capito i tuoi passaggi.

Onestamente non ho capito molto quello che vuoi fare, ma sospetto che non sia corretto. Perché dici \( x > \pi/6 \) ?
a) Mi sai dire quando \( \sin(\beta) > 0 \) ?
b) Cosa intendi fare il prodotto delle soluzioni tra questo e "per nessuna x appartenente ad \( \mathbb{R} \) ?

[Pemberton!]

1)
Sei d'accordo che risolvere
\[ 3 \sin(x) - \sqrt{3} \cos(x) > 0 \]
è equivalente a risolvere
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x) > 0 \]
?

2)
Ora se \( \cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) e \( \sin(\pi/6) = \frac{1}{2} \) risolvere
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(x) - \frac{1}{2} \cos(x) > 0 \]
è equivalente a risolvere
\[ \cos(\pi/6)\sin(x) - \sin(\pi/6) \cos(x) > 0 \]

Si questo mi è chiaro

3) ho usato la nota formula trigonometrica della differenza degli angoli del seno \( \sin(x-y) = \sin(x)\cos(y) - \sin(y) \cos(x) \)
per riscrivere questa
\[ \cos(\pi/6)\sin(x) - \sin(\pi/6) \cos(x) > 0 \]
nel seguente modo
\[ \sin(x-\pi/6) > 0 \]

E adesso mi è chiaro anche questo passaggio.

a) $ 2kpi < beta < pi + 2kpi $

b) intendo che l'equazione originaria semplificata, è

$ (cos(x)-1)(3sen(x)-sqrt(3)cos(x)) < 0$

quindi oltre al secondo prodotto su cui trovavo difficoltà, c'è anche il primo

$cos(x)>1$ = per nessuna x appartenente ad R

Per cui trovate le soluzioni per il secondo prodotto, devo fare il prodotto dei segni tra i due per trovarmi l'effettiva soluzione. O no ?

[3m0o]

a) $ 2kpi < beta < pi + 2kpi $

Okay sì! Ora poni \( \beta = x - \pi/6 \), e otteni per \(x\)...

b) intendo che l'equazione originaria semplificata, è

$ (cos(x)-1)(3sen(x)-sqrt(3)cos(x)) < 0$

quindi oltre al secondo prodotto su cui trovavo difficoltà, c'è anche il primo

$cos(x)>1$ = per nessuna x appartenente ad R

Per cui trovate le soluzioni per il secondo prodotto, devo fare il prodotto dei segni tra i due per trovarmi l'effettiva soluzione. O no ?

Okay ho capito cosa intendi, sì è giusto. Ma voglio solo farti notare una cosa per semplificarti.
\[ (\cos x - 1) ( 3 \sin x - \sqrt{3} \cos x ) < 0 \]
ora siccome \( \cos x -1 < 0 \) per ogni \(x \in \mathbb{R} \) allora abbiamo che il termine \( (\cos x - 1) \) in un certo senso non influisce sul segno della tua disequazione. Risolvendo questo
\[ 3 \sin x - \sqrt{3} \cos x > 0 \]
hai trovato già le soluzioni senza dover fare la tabella dei segni.

[axpgn]

ora siccome \( \cos x -1 < 0 \) per ogni \(x \in \mathbb{R} \)

tranne per $x=2kpi$

[3m0o]

ora siccome \( \cos x -1 < 0 \) per ogni \(x \in \mathbb{R} \)

tranne per $x=2kpi$

Ups..

[Pemberton!]

hai trovato già le soluzioni senza dover fare la tabella dei segni.

Si lo so, alle cose così semplici ancora ci sto dietro...

il tranne per $x=2kpi$ è corretto ma è automaticamente escluso dalle soluzioni e non ho bisogno di specificarlo.. giusto ?

$pi/6 + 2kpi < x < 7/6pi + 2kpi$

[3m0o]

il tranne per $x=2kpi$ è corretto ma è automaticamente escluso dalle soluzioni e non ho bisogno di specificarlo.. giusto ?

$pi/6 + 2kpi < x < 7/6pi + 2kpi$

No hai bisogno di specificarlo. A me è scappato via. Ma è un errore infatti
\[ (\cos x - 1)(3 \sin x - \sqrt{3} \cos x) < 0 \]
è equivalente a
\[ 3 \sin x - \sqrt{3} \cos x > 0 \]
solo se \( x \in \mathbb{R} \setminus \{ 2 k \pi | k \in \mathbb{Z}\} \).
E lo puoi affermare perché quello che stai facendo è moltiplicare entrambe i membri per \( \frac{1}{ (\cos x - 1)} \) ovvero
\[ \frac{1}{ (\cos x - 1)} \cdot (\cos x - 1)(3 \sin x - \sqrt{3} \cos x) > \frac{1}{ (\cos x - 1)} \cdot 0 \]
grazie al noto principio di equivalenza delle disequazioni, ovvero che moltiplicando ambo i membri per un numero o un espressione negativa allora la disequazione è equivalente cambiandone il verso. Mentre se moltiplichi per un numero positivo allora non cambi il verso.
Il problema è che con \(x = 2\pi k \) e \( k \in \mathbb{Z} \) l'espressione \((\cos x - 1) = 0 \). Lo zero non possiede inverso moltiplicativo e dunque non puoi moltiplicare per \( \frac{1}{ (\cos x - 1)} \).

Devi dividere i due casi e dire se \( x = 2 \pi k \) la disequazione diviene \( 0 < 0 \) che non è mai verificata. Altrimenti... e fai come fatto sopra.