Re: Esempi sul calcolo di integrali multipli con coordinate polari

Messaggioda pilloeffe » 29/06/2020, 14:58

smule98 ha scritto:Intanto grazie per l'aiuto.

Prego.
smule98 ha scritto:No non mi è ancora chiaro che ragionamenti dovrei fare.

Quoto gugo82:
gugo82 ha scritto:Fai un disegno (di nuovo).

Se proprio insisti a non voler fare un disegno, tramite il quale però capiresti tutto, potresti dare un'occhiata ad esempio alla fine di questa pagina: https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_di_coordinate_polari
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Re: Esempi sul calcolo di integrali multipli con coordinate polari

Messaggioda smule98 » 29/06/2020, 15:20

Non capisco come fare il disegno in coordinate sferiche
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Re: Esempi sul calcolo di integrali multipli con coordinate polari

Messaggioda gugo82 » 29/06/2020, 15:33

smule98 ha scritto:Non capisco come fare il disegno in coordinate sferiche

Scusa, ma quando ti hanno spiegato le coordinate sferiche (in Analisi II o in Fisica) ti hanno fatto vedere cosa rappresentano gli angoli $theta$ e $phi$?
O, almeno, te le hanno definite geometricamente le coordinate sferiche?
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Re: Esempi sul calcolo di integrali multipli con coordinate polari

Messaggioda smule98 » 29/06/2020, 16:10

gugo82 ha scritto:
smule98 ha scritto:Non capisco come fare il disegno in coordinate sferiche

Scusa, ma quando ti hanno spiegato le coordinate sferiche (in Analisi II o in Fisica) ti hanno fatto vedere cosa rappresentano gli angoli $theta$ e $phi$?
O, almeno, te le hanno definite geometricamente le coordinate sferiche?


Non particolarmente, solo che $theta$ va da 0 a $2pi$ e che φ va da 0 a $pi$
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Re: Esempi sul calcolo di integrali multipli con coordinate polari

Messaggioda pilloeffe » 29/06/2020, 16:22

smule98 ha scritto:Non particolarmente, solo che $\theta $ va da $0$ a $2\pi $ e che $phi $ va da $0 $ a $\pi $

E perché, di grazia, nel caso in esame dovrebbe essere diverso?
smule98 ha scritto:Non capisco come fare il disegno in coordinate sferiche

:shock:
Che cos'è che non capisci? Si tratta semplicemente di due sfere concentriche aventi centro $O(0,0,0) $, una di raggio $1$ e l'altra di raggio $2$... :wink:
Ultima modifica di pilloeffe il 29/06/2020, 18:21, modificato 1 volta in totale.
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Re: Esempi sul calcolo di integrali multipli con coordinate polari

Messaggioda smule98 » 29/06/2020, 17:48

Che mi sembra diciamo "troppo facile" cioè ho capito dalla teoria le misure in cui variano teta e phi, ma lo do per scontato appunto dalla teoria, non perchè ho capito come fare il disegno e vedo che effettivamente vanno da tot angolo a tot angolo
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Re: Esempi sul calcolo di integrali multipli con coordinate polari

Messaggioda gugo82 » 29/06/2020, 19:26

smule98 ha scritto:[...] ho capito dalla teoria [...]

Scusa, ma quale teoria?
Hai appena detto che non ti è stato detto perché vengono fuori quelle limitazioni... Come fai ad aver capito?
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Re: Esempi sul calcolo di integrali multipli con coordinate polari

Messaggioda smule98 » 01/07/2020, 08:52

Scusa ho sbagliato il termine, ho dato per assodato come ho scrito successivamente che viene detto che theta e phi variano in quei termini
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Le coordinate sferiche in $RR^3$

Messaggioda gugo82 » 01/07/2020, 13:38

Costruzione e significato geometrico delle coordinate sferiche in $RR^3$

Nello spazio $RR^3$ fissa un riferimento cartesiano ortonormale $Oxyz$ e scegli un punto $P$ che non stia sull’asse $z$.
Per questo punto $P$ passa un’unica superficie sferica di centro $O$: la lunghezza del raggio $OP$ di tale superficie sferica è la coordinata $r$ del punto $P$ nel sistema di coordinate polari che stiamo costruendo.
Inoltre, per il punto $P$ passa un unico semipiano $alpha$ appartenente al fascio che ha per asse l’asse $z$; tale $alpha$ interseca il piano $Oxy$ in una semiretta uscente da $O$: l’anomalia $theta$ di tale semiretta rispetto al semiasse delle $x$ positive (i.e., l’angolo orientato formato dalla semiretta e dal semiasse delle ascisse positive) è la seconda coordinata di $P$ nel sistema di coordinate polari che stiamo costruendo.
Infine, per il punto $P$ passa un’unica semiretta uscente da $O$ e tracciata sul semipiano $alpha$: l’anomalia $phi$ di tale semiretta rispetto al semiasse delle $z$ positive (i.e., l’angolo orientato formato dalla semiretta e dal semiasse delle quote positive) è la terza coordinata di $P$ nel sistema di coordinate polari che stiamo costruendo.
Dunque $P=(r, theta, phi)$ con $r$, $theta$ e $phi$ univocamente determinati se $P$ non è sull’asse $z$.

Cosa succede se, invece, $P$ sta sull’asse $z$?
Dipende… Quello che è certamente vero per tutti i punti $P$ di questo tipo è che la coordinata $r$ è sempre determinata e coincide sempre con la lunghezza di $OP$. Tuttavia, visto che tutti i semipiani appartenenti al fascio con asse l’asse $z$ passano per $P$, la coordinata $theta$ è completamente indeterminata per tutti i punti dell’asse delle quote.
Inoltre, se $P$ sta sul semiasse $z$ positivo, allora la semiretta da $O$ che passa per $P$ coincide con il semiasse $z$ positivo, quindi $phi = 0$; se, invece $P$ sta sul semiasse $z$ negativo, allora la semiretta da $O$ per $P$ coincide con il semiasse negativo e perciò $phi = pi$.

Infine, se $P =O$, è chiaro che $r=0$ però entrambe le coordinate angolari $theta$ e $phi$ risultano indeterminate.

Viceversa, assegnata una terna $(r,theta,phi)$ esiste al più un unico punto $P$ tale che: $r$ coincide con la lunghezza di $OP$; $theta$ coincide con l’angolo formato dal semipiano appartenete al fascio di asse $z$ che passa per $P$ con il semiasse $x$ positivo; $phi$ coincide con l’anomalia della semiretta di origine $O$ che passa per $P$ col semiasse $z$ positivo.

Limitazioni sulle coordinate sferiche

Dalla stessa definizione di $r$ segue che $r>=0$.

Dalla definizione di $theta$ segue che tale angolo varia in un intervallo di ampiezza $2pi$, poiché per individuare tutti i punti dello spazio (ad eccezione di quelli dell’asse $z$) bisogna far ruotare il semipiano $alpha$ attorno all’asse $z$ di un giro completo.
Pertanto, usualmente, o si sceglie $theta in [0,2pi[$ oppure $theta in ]-pi, pi]$.

Analogamente, dalla definizione di $phi$ segue che tale angolo varia in un intervallo di ampiezza $pi$, poiché per individuare tutti i punti dello spazio bisogna far ruotare nel semipiano mobile $alpha$ la semiretta $s$ uscente da $O$ dal semiasse $z$ positivo a quello negativo.
Perciò, usualmente si sceglie $phi in [0,pi]$.

Trasformazioni da coordinate sferiche a cartesiane

Scegliamo un punto $P$ nel primo ottante aperto, chiamiamone $(x,y,z)$ le coordinate cartesiane ed $(r, theta, phi)$ le coordinate sferiche.
Chiamiamo, inoltre, $H$ e $Z$ le proiezioni di $P$ sul piano $Oxy$ e sull’asse $z$ rispettivamente ed $X$, $Y$ le proiezioni di $H$ sugli assi $x$ ed $y$. Evidentemente, $H=(x,y,0)$, $X=(x,0,0)$, $Y=(0,y,0)$ e $Z=(0,0,z)$.
Come da definizione, $r$ è la lunghezza dell’ipotenusa comune ai triangoli rettangoli $\triangle OZP$ e $\triangle OHP$, rettangoli in $K$ ed $H$. Dato che, per definizione $phi$ è l’ampiezza dell’angolo $hat(POZ)$, la lunghezza del cateto $OZ$ è data da $r cos phi$ e, contemporaneamente, anche da $z$; dunque:

$z = r cos phi$.

D’altra parte, la lunghezza di $OH$ è data da $r sin phi$; dato che $OH$ è l’ipotenusa dei triangoli $\triangle OXH$ ed $\triangle OYH$ e visto che $theta$ è l’ampiezza dell’angolo $hat(HOX)$, le lunghezze dei cateti $OX$ ed $OY$ sono date, contemporaneamente, da $r sin phi cos theta$ ed $x$ e da $r sin phi sin theta$ ed $y$; dunque:

$x = r sin phi cos theta$ e $y = r sin phi sin theta$.

Ne consegue che le coordinate cartesiane di $P$ sono legate a quelle sferiche mediante le formule:

(P) $\{(x = r sin phi cos theta), (y = r sin phi sin theta), (z = r cos phi):}$

quando $P$ è nel primo ottante aperto (cioè quando $r>=0$, $0 <= theta <= pi/2$ e $0 <= phi <= pi/2$). Però si può vedere con analoghi ragionamenti che le formule precedenti valgono anche in tutti gli altri ottanti e sugli assi (con le indeterminazioni che si sono dette se $P$ appartiene all’asse delle quote).
Le (P) si chiamano trasformazioni da coordinate sferiche a cartesiane.
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Re: Esempi sul calcolo di integrali multipli con coordinate polari

Messaggioda smule98 » 01/07/2020, 15:15

Grazie
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