Convergenza della serie

Messaggioda vitoci » 30/06/2020, 10:41

Salve ragazzi, devo studiare la convergenza di questa serie
$ sum_(n = \1)^(infty) ln^2(n+2)/n^2 $

Ho studiato la serie con il criterio degli infinitesimi e la serie converge.

Ora il mio dubbio è, avrei potuto notare che converge considerandola una serie armonica con $ alpha $ (esponente del denominatore) >1? Se si come posso mostrarlo? basta far vedere che $ sum_(n = \1)^(infty) ln^2(n+2)/n^2 = sum_(n = \1)^(infty) ln^2 (n+2)*(1)/n^2 $
Non credo basti, ho provato a studiarla per confronto asintotico ma non ne vengo a capo. Mi date una mano?
vitoci
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Re: Convergenza della serie

Messaggioda Mephlip » 30/06/2020, 11:20

Puoi ricondurti alla serie armonica considerando un confronto asintotico con $a_n=\frac{\ln^2 n}{n^2}$, quest'ultima è una serie armonica generalizzata del tipo $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha} \ln^{\beta} n$.
Considerare brutalmente quel prodotto che hai scritto, come hai giustamente detto, non basta.
Mephlip
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Re: Convergenza della serie

Messaggioda pilloeffe » 30/06/2020, 11:26

Ciao vitoci,

Farei così:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} ln^2(n+2)/n^2 = \sum_{n = 1}^{+\infty} [ln n(1+2/n)]^2/n^2 = \sum_{n = 1}^{+\infty} (ln^2 n + 2 ln n ln(1 + 2/n) + ln^2(1 + 2/n))/n^2 = $
$ = \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n^2 ln^{-2}n) + 2 \sum_{n = 1}^{+\infty}(ln(1 + 2/n))/(n^2 ln^{-1}n)+ \sum_{n = 1}^{+\infty}(ln^2(1 + 2/n))/n^2 $

Ora:
1) la prima serie scritta è la serie armonica generalizzata di tipo II con $\alpha = 2 $ e $\beta = - 2 $ che è convergente;
2) la seconda serie scritta si comporta come la serie $4 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n^3 ln^{- 1} n) $ che è ancora una serie armonica generalizzata di tipo II con $\alpha = 3 $ e $\beta = - 1 $ che è convergente;
3) l'ultima serie scritta si comporta come la serie $4 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^4 $ che è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 4 $, notoriamente convergente.

EDIT: ops, chiedo scusa, mi sono accorto in ritardo che Mephlip ti aveva già risposto. C'è di buono che non abbiamo scritto cose contraddittorie, puoi perfino scegliere come operare... :wink:
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Re: Convergenza della serie

Messaggioda Mephlip » 30/06/2020, 12:09

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Pilloeffe, questo forum è troppo piccolo per entrambi 8-) *rotolacampo che vola*

pilloeffe ha scritto:$\sum_{n = 1}^{+\infty} ln^2(n+2)/n^2 = \sum_{n = 1}^{+\infty} [ln n(1+2/n)]^2/n^2$

C'è un typo qua :)
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Re: Convergenza della serie

Messaggioda pilloeffe » 01/07/2020, 16:56

Mephlip ha scritto:C'è un typo qua :)

Scusa Mephlip, starò rimbambendo, ma non lo vedo... :wink:
O forse intendi che non ho messo la parentesi sull'argomento del logaritmo? In questo caso l'ho fatto apposta per non appesantire troppo la notazione con le parentesi, tanto dovrebbe capirsi che

$ln^2(n + 2) = [ln(n + 2)]^2 = [ln(n(1 + 2/n))]^2 = [ln n + ln(1 + 2/n)]^2 = ... $
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Re: Convergenza della serie

Messaggioda Mephlip » 01/07/2020, 18:33

Sì, era quello! Allora non era un vero e proprio typo, scusami :-D
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Re: Convergenza della serie

Messaggioda gugo82 » 02/07/2020, 00:05

@ vitoci: La serie converge perché gli addendi sono infinitesimi d'ordine $>3/2$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Convergenza della serie

Messaggioda pilloeffe » 02/07/2020, 06:59

Mephlip ha scritto:Sì, era quello! Allora non era un vero e proprio typo, scusami :-D

Ma di niente, figurati!
Diciamo anche che in generale le parentesi preferisco evitarle quando si capisce dal contesto per evitare appesantimenti nelle notazioni. Tanto per fare un esempio, c'è chi scrive $ln(n) $: ora io non dico che sia sbagliato perché non sarebbe vero, ma quando non ci sono dubbi, come in questo caso, personalmente prediligo la più semplice notazione $ln n $
Invece chiaramente è diverso scrivere $ln n + 2 $ e $ln(n + 2) $: in questo caso le parentesi sono obbligatorie.
Ho notato che molti lo fanno anche con le funzioni trigonometriche: $sin(x)$, $cos(x)$, $tan(x)$, ... Quando il contesto non lascia dubbi, personalmente preferisco le più semplici notazioni $sin x$, $cos x$, $tan x$, ...
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