Domanda stupida su sviluppo del binomio

Messaggioda scontinino » 30/06/2020, 10:02

Mi è sorta una domanda sul seguente fatto:

Lo sviluppo del binomio al cubo $(1+x)^3$ con mc-laurin porta a: $1+3x+3x^2....$

Il punto è che pensavo, seio sviluppassi il cubo avrei: $1+3x+3x^2+3x^3$

Ma la cosa strana non è tanto che siano simili, è giusto perché nell'intorno di zero losviluppo "approssima" la funzione, ma in questo caso lo sviluppo è più esteso della funzione stessa.

Quindi avendo lo sviluppo più termini ècome se fosse "più preciso" lo sviluppo della funzione stessa. Ovviamente quest' ultima frase è un po' una forzatura, però è per rendere l'idea di cosa non mi torna.

Qualcuno potrebbe spiegarmi bene la faccenda perché non capisco come sia possibile che lo sviluppo avendo più termini approssimi la funzione binomio al cubo
Grazie per l'aiuto
scontinino
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Re: Domanda stupida su sviluppo del binomio

Messaggioda solaàl » 30/06/2020, 10:23

La serie di Taylor-Mac Laurin di \((1+x)^\alpha\) è
\[
\sum^{\infty}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n
\] e questa espressione ha senso per ogni \(x \in [-1,1]\) e ogni \(\alpha \in \mathbb C\), con la convenzione che \[\binom \alpha k := \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}\]Detto questo, puoi divertirti a dimostrare che la funzione \(\alpha,k \mapsto \binom{\alpha}k\), quando ristretta a \(\mathbb N \subset \mathbb C\) coincide con la sua nozione classica di binomiale
\[
\binom n k = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\] e che quindi \(\binom n k = 0\) per ogni \(n > k\); da ciò, deduci che la serie di Taylor-Mac Laurin di un polinomio è definitivamente nulla e coincide col polinomio stesso.

Più brutalmente, sia $k$ un anello e sia \(p(X) \in k[X]\) con la sua struttura usuale di anello differenziale per cui \(\partial X:=1\); allora se \(\deg p = d\), la successione delle derivate di \(p\) è definitivamente nulla, e per la precisione \(\partial^{d+r} p = 0\) per ogni \(r > 0\).
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Re: Domanda stupida su sviluppo del binomio

Messaggioda scontinino » 30/06/2020, 10:44

Hai ragione in effetti avevo preso un abbaglio.

solaàl ha scritto:puoi divertirti a dimostrare che la funzione \(\alpha,k \mapsto \binom{\alpha}k\), quando ristretta a \(\mathbb N \subset \mathbb C\) coincide con la sua nozione classica di binomiale
\[
\binom n k = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\] e che quindi \(\binom n k = 0\) per ogni \(n > k\); da ciò, deduci che la serie di Taylor-Mac Laurin di un polinomio è definitivamente nulla e coincide col polinomio stesso.


Il fatto che non sonemmeno bene come partire :oops:

solaàl ha scritto:Più brutalmente, sia $k$ un anello e sia \(p(X) \in k[X]\) con la sua struttura usuale di anello differenziale per cui \(\partial X:=1\); allora se \(\deg p = d\), la successione delle derivate di \(p\) è definitivamente nulla, e per la precisione \(\partial^{d+r} p = 0\) per ogni \(r > 0\).


Sto studiando algebra 1 credosia un po' oltre per me :lol:

Grazie perle te risposte.
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Re: Domanda stupida su sviluppo del binomio

Messaggioda dissonance » 30/06/2020, 11:17

La formula del cubo del binomio che hai scritto è sbagliata, non c'è un 3 davanti a \(x^3\).

La cosa che ti sfugge è che \((1+x)^n\) è un polinomio, di grado \(n\). Come tutti i polinomi, esso COINCIDE con il suo polinomio di McLaurin di grado \(n\) (o qualsiasi polinomio di Taylor). Ecco perché la formula di Taylor-McLaurin non ha il termine di errore, è una formula esatta. Ripeto, per i polinomi è sempre così.
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