Definizione convergenza debole

Messaggioda Zstar » 28/06/2020, 15:25

Ho qualche problema con la definizione di convergenza debole. Il mio professore, seguendo abbastanza il mio libro di testo, fa questo ragionamento:

Innanzitutto definiscono il concetto di topologia debole e costruiscono tale topologia attraverso un sistema fondamentale di intorni.

Def. Sia X uno spazio di Banach con $X^*$ come duale, chiamo topologia debole su X la topologia più debole, ossia con meno aperti, che renda continui tutti i funzionali del duale.

Senza dare una definizione di convergenza debole, è subito dato questa proposizione che in molti libri ho trovato proprio come definizione.


Prop. Dico che un net ${x_α }_(α∈A)$ converge debolmente $x_α⇀x$ se e solo se $∀ϕ∈X^* si ha ϕ(x_α )→ϕ(x)$.
Dim.
(=>) per ipotesi ho la convergenza debole, per cui $∀ N(x,l_1,…,l_n,ε)$ intorno di x, il net $x_α$sta
definitivamente in N, quindi $∃α_0∈A∶∀α>α_0,x_α∈N(x,l_1,…,l_n,ε)$.

Questa non è la definizione di convergenza tradizionale? Cercando di dare un senso a ciò che leggo, mi verrebbe da dire che in realtà un net converge se è definitivamente contenuto in ogni intorno fondamentale che descrive la topologia debole, ma è una pura supposizione... ha senso(?)

Essendo$ l_1,…,l_n$ una base per $X^*$, avrò, in particolare che $∃α_0∈A∶∀α>α_0,x_α∈N(x,ϕ,ε)$.
Questo vuol dire che $|ϕ(x_α-x)|<ε$ e quindi ho la tesi.

Se la definizione di convergenza debole che ho pensato prima è giusta allora mi chiedo, dal momento che non mi è mai stata data una caratterizzazione di insieme fondamentale ma anche qui è tutto frutto delle mie ricerche personali, $N(x,ϕ,ε)$ è ancora un intorno fondamentale? Se si perchè?

(<=) Sia $x∈X$, quello che voglio far vedere è che, preso l’intorno $x∈N(x,l_1,…,l_n,ε)$,
$x_α∈N(x,l_1,…,l_n,ε)$ definitivamente. Sappiamo, per ipotesi, che presi i generatori del duale
$l_i (x_α )→l_i (x)$ e quindi che $∀α_i∈A,∃α>α_i ;|l_i (x_α-x)|<ε$
Uso il fatto che A è un insieme diretto e quindi
$∃α ̅>α_i ∀i=1,..,n∶|l_i (x_α-x)|<ε$
E questo vuol dire proprio che $x_α∈N$ definitivamente.


Inoltre, dal fatto che ho preso una base finita per il mio spazio duale deduco di avere uno spazio di Banach che abbia dimensione finita, e se la dimensione fosse infinita??
Ultima modifica di Zstar il 30/06/2020, 17:10, modificato 1 volta in totale.
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Re: Definizione convergenza debole

Messaggioda dissonance » 30/06/2020, 11:16

E vabbè ma qual è questa definizione di convergenza debole che ti hanno dato? È la cosa più importante ed è anche l'unica che non hai scritto.
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Re: Definizione convergenza debole

Messaggioda Zstar » 30/06/2020, 11:28

Non me l'hanno data... Altrimenti penso sarei riuscita ad arrivarci da sola. E' proprio perchè in praticamente tutti i testi la definizione che trovo è quella che mi è stata data come proposizione che mi chiedo quale possa essere la definizione che devo usare nel mio caso. Quale sia la definizione che usa chi procede in questo modo
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Re: Definizione convergenza debole

Messaggioda dissonance » 30/06/2020, 12:29

Se il docente non ti ha dato la definizione, significa che non ha idea di cosa sia la matematica, oppure che da per scontato che tu la sappia da un corso precedente. Che corso stai seguendo?
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Re: Definizione convergenza debole

Messaggioda gabriella127 » 30/06/2020, 13:19

Ciao Zstar.
E' strano, da quello che scrivi tra la definizione che hai dato di topologia debole e la proposizione seguente, ci dovrebbe stare la definizione di convergenza debole tramite la topologia debole, cioè che se una successione converge nella topologia debole si dice che converge debolmente.
Ad esempio, fa così il libro di Brézis, Functional analysis etc., 4° ed., p. 57:

" Se una successione $(x_n)$ in E converge a $x$ nella topologia debole $ sigma (E,E') $ [...] diremo talvolta che $x_n$ converge debolmente a $x$ in $ sigma (E,E') $ "

dove $E$ è uno spazio di Banach, $E'$ il suo duale .

E poi mette la proposizione che hai scritto tu.
Altri libri usano l'enunciato della proposizione come definizione di convergenza debole, che è una definizione che non richiede la topologia.

Così mi sembra, da ignorante di ritorno (e pure di andata), dato che queste cose le ho viste un secolo fa.
Ma qual è il tuo libro di testo?
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Re: Definizione convergenza debole

Messaggioda Zstar » 30/06/2020, 17:13

Il mio testo è "Methods of modern mathematical physics" di Reed e Simon. Il mio testo da tutte le definizioni di cui ho parlato sopra ma non menziona la proposizione perchè semplicemente la da come definizione di convergenza debole.
A questo punto la definizione che manca suppongo sia quella di cui parli tu e che il mio professore forse ha dato per scontata
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Re: Definizione convergenza debole

Messaggioda gabriella127 » 30/06/2020, 17:24

Oppure l'ha data in maniera molto veloce e non si è notata! Anche in Brezis, non c'è nemmeno scritto 'Definizione', c'è scritto 'Notazione'...

Dandola per scontata, da quello che scrivi ci sarebbe un buco nell'esposizione.
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Re: Definizione convergenza debole

Messaggioda dissonance » 30/06/2020, 18:54

Ma no, c’è. Solo che quel libro fa la costruzione della topologia debole usando il concetto di “limite induttivo”. È un lavoro piuttosto lungo e all’atto pratico non molto utile. (Concettualmente invece è una cosa interessante).
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Re: Definizione convergenza debole

Messaggioda gabriella127 » 30/06/2020, 18:59

Scusa dissonance a quale libro ti riferisci? Reed e Simon?

Io di buco parlavo nella esposizione delle cose del professore scritte da Zstar.

Brezis la dà la definizione, solo in modo un po' fugace nell'esposizione.
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Re: Definizione convergenza debole

Messaggioda dissonance » 30/06/2020, 20:16

Si, mi riferisco a Reed e Simon
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