Re: Definizione convergenza debole

Messaggioda Zstar » 30/06/2020, 20:50

gabriella127 ha scritto:Oppure l'ha data in maniera molto veloce e non si è notata! Anche in Brezis, non c'è nemmeno scritto 'Definizione', c'è scritto 'Notazione'...

Dandola per scontata, da quello che scrivi ci sarebbe un buco nell'esposizione.


Sisi il Reed e Simon dice che $x_\alpha->x$ debolmente se $\phi(x_\alpha)->\phi(x) \forall \phi \in X^*$, il problema era che io non potevo prenderla come definizione
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Re: Definizione convergenza debole

Messaggioda Bremen000 » 02/07/2020, 09:05

Mi inserisco a conversazione inoltrata (forse finita) ma penso di poter aggiungere qualcosa.

Dal mio punto di vista non c'è alcun buco espositivo.

Tu hai \( X \) che è uno spazio vettoriale normato e quindi dotato, grazie alla norma, di una topologia (la cosiddetta topologia forte) che chiamiamo \( \tau \). Ora sai identificare le mappe da \( (X, \tau) \) in \( \mathbb{R} \) che sono continue. Chiamiamo la loro collezione \( X' \).

Ora puoi considerare una nuova topologia su \( X \) che è la meno fine (quella con meno aperti) che rende continui tutti gli elementi di \( X'\). Questa è una definizione ben posta (controlla, se vuoi) e quindi possiamo chiamare questa nuova topologia "topologia debole" e denotarla con \( \sigma \).1


Adesso \( (X, \sigma) \) è un dignitoso spazio topologico e, presa una rete \( (x_{\lambda})_{\lambda} \subset X \), sai quindi cosa significa che essa converge ad un qualche punto \( x_0 \in X \) nella topologia \( \sigma \). Ora, avendo chiamato questa topologia "topologia debole", mi pare che sia del tutto naturale (e comprensibile) dire che una rete che converge nella topologia debole converge debolmente.


Quindi, a rigore, hai la definizione di convergenza debole semplicemente perché sai cosa vuol dire che una rete converge nella topologia debole.

E dunque la proposizione che citavi è proprio una proposizione. Poi, come tutte le equivalenze, può essere presa come definizione. Mi pare però che introdurre la topologia come ho fatto qua (e come mi sembra che ti sia stato fatto a lezione) e usare poi quella caratterizzazione come proposizione, sia più pulito.

Poi, come mi sembra hai accennato, il fatto chiave per mostrare quell'equivalenza è che, dato un punto \( x_0 \in X \), un sistema fondamentale di intorni di \( x_0 \) in \( (X, \sigma) \) è dato da insiemi del tipo
\[ \bigcap_{i=1}^N \left \{ x \in X \mid |f_i(x)-f_i(x_0) | < \epsilon \right \} \]
al variare di \( \epsilon >0 \), \( \{ f_1, \dots, f_N \} \subset X' \) e \( N \in \mathbb{N}_0 \). Da qui mi pare immediato vedere che

Data una rete \( (x_{\lambda})_{\lambda \in \mathbb{L}} \) essa converge debolmente a \( x_0 \in X \) se e solo se la rete di numeri reali \( (f(x_{\lambda}))_{\lambda \in \mathbb{L}} \) converge a \( f(x_0) \) per ogni \( f \in X'\).

Note

  1. Come accennava dissonance, questo è un caso particolare di topologia iniziale, secondo me un concetto molto interessante assieme al suo concetto "duale" di topologia finale. Se uno guarda con attenzione questa costruzione compare spesso: topologia prodotto, topologia di sottospazio, topologia dell'unione disgiunta...
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Re: Definizione convergenza debole

Messaggioda dissonance » 02/07/2020, 09:29

Uuh ho sbagliato. In effetti il discorso con il limite induttivo è per la topologia dello spazio delle distribuzioni. La topologia debole su uno spazio di Banach è più semplice ed è quella che ha detto Bremen. =D>
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Re: Definizione convergenza debole

Messaggioda gabriella127 » 02/07/2020, 11:11

Il buco c'era solo nell'esposizione del professore quale l'aveva riportata Zstar, non si diceva la definizione di convergenza debole tramite la topologia debole, dopo la definizione di topologia debole saltava direttamente alla proposizione in cui si menzionava la convergenza debole senza averla definita.
Perciò Tszar, non avendola mai vista, poteva non raccapezzarsi.

(E' una definizione molto sempice, giusto una questione terminologica, al professore può essere sfuggita).

L'esposizione e la definizione di Bremen è quella che avevo scritto nel mio primo messaggio (citando Brézis).
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Re: Definizione convergenza debole

Messaggioda Bremen000 » 02/07/2020, 14:19

@ dissonance: si, non avevo nemmeno notato che ti riferivi in effetti ad un'altra cosa. Il limite induttivo di topologie non mi è mai andato giù!

@ Gabriella: in effetti ho visto quello che hai scritto e diciamo la stessa cosa. Volevo solo metterla giù nel linguaggio delle reti e senza necessariamente scrivere "spazio di Banach", che la completezza qui non serve. Inoltre, parliamo di lana caprina eh, mi sento di dire che non ci sia così bisogno di dire che "convergere nella topologia debole" = "convergere debolmente". E' solo una questione terminologica che mi pare ovvia.
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Re: Definizione convergenza debole

Messaggioda gabriella127 » 02/07/2020, 14:27

Ma certo Bremen, non era certo per contraddirti, l'ho detto io stessa che è una definizione banale, era solo per capire come mai Zstar fosse perplessa.
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