Abituati a chiedere quello che realmente vuoi sapere, non altro.
Ed abituati ad accoppiare qualche calcolo alle tue domande, per facilitare gli altri utenti.
Ad ogni buon conto, sì, lo studio del segno può essere una buona idea.
In particolare, ti interessa il segno di $Delta f = f(x,y) - f(alpha, 0)$ intorno al punto $(alpha, 0)$ (con $alpha in RR$).
Visto che $f(alpha,0) = 0$, studiare il segno di $Delta f$ equivale a studiare il segno della sola $f(x,y)$, i.e. a risolvere $x^3 y^2 (1 - x - y) >=0$, intorno ad $(alpha, 0)$.
Risolvendo, si trova il seguente diagramma di segni:
da cui si trae che:
- i punti $(alpha, 0)$ con $alpha >1$ o $alpha <0$ sono massimi;
- i punti $(alpha, 0)$ con $0< alpha < 1$ sono minimi;
- i punti $(0,0)$ ed $(1,0)$ non sono né l’uno né l’altro.
Il ragionamento per gli altri punti è analogo.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)