Convergenza di una serie con parametro

[sguonza]

Buonasera, vi pongo questa serie:
$sum_1 sin(1/n^a -1/n^2) /log(n+1)$ con $a>1$. Io ho provato a risolvere così:
se $a=2$ quindi se la serie si annulla a 0,
se $a!=2$ ho posto $sin(1/n^a -1/n^2)> -1$ , da cui $sin(1/n^a -1/n^2) /log(n+1) > -1/log(n+1)$ , da cui si arriva a $1/n$, che diverge, e quindi la serie diverge. Può essere corretto?

[gugo82]

Minorare con una serie negativamente divergente non è mai una buona idea.

[sguonza]

Ma se la serie minore diverge, non può funzionare il ragionamento?

[Mephlip]

Hai dimostrato che la tua serie "è più grande di $-\infty$", ciò non ti dà nessuna informazione sulla divergenza (pensala anche intuitivamente, "è più grande di $-\infty$" può significare che ha somma $-7$, quindi non è divergente); devi dimostrare che è "più piccola di $-\infty$" per ottenere che diverge negativamente per confronto.

[sguonza]

Ma $1/n$ non diverge positivamente?

[Mephlip]

Come sei arrivato a $\frac{1}{n}$ da $-\frac{1}{\ln(n+1)}$?

[pilloeffe]

Ciao sguonza,

[...] quindi la serie diverge. Può essere corretto?

No, a me risulta convergente...

[gugo82]

Consiglio: ragiona sull'ordine di infinitesimo, distinguendo i casi $alpha<2$ ed $alpha >2$.

[sguonza]

Buonasera. Riprendo a distanza di tempo questo esercizio, che non ho potuto portare a termine in precedenza. Ricominciando da zero l'analisi del testo ho pensato che, poichè $a>1$, allora $sin(1/(n^a) -1/(n^2)) = 1/(n^a) -1/(n^2)$. Detto ciò c'è quel segno - che mi mette in difficoltà riguardo il confronto di infinitesimi.
Se $a>2$, allora per confronto di infinitesimi dovrebbe essere di ordine inferiore $-1/(n^2)$, quindi verrebbe una serie a termini negativi, ma si potrebbe concludere che, portando fuori dal segno di somma il $-1$ e lavorando sulla serie a termini positivi, per confronto asintotico con $1/(n^2)$ la serie converge.
Se $a<2$, allora stavolta dovrebbe essere di ordine inferiore $1/(n^a)$, e poichè $1<a<2$, allora sempre per confronto asintotico, la serie dovrebbe nuovamente convergere.
Il ragionamento è corretto?

[gugo82]

I criteri per le serie a termini positivi, in realtà, valgono per le serie a termini di segno definitivamente costante (cioè, sempre positivi da un certo indice in poi, o sempre negativi da un certo indice in poi).
Quindi il segno $-$ non dà davvero nessun problema.

Ora (a parte il caso banale $alpha = 2$), dato che $sin x ~ x$ per $x -> 0$, hai:

$sin (1/n^alpha - 1/n^2) ~ \{ (1/n^alpha , ", se " 1 < alpha < 2), (-1/n^2 , ", se " alpha >2) :}$

quindi il numeratore è un infinitesimo d'ordine $min \{ alpha , 2\} > 1$.
Ne viene che la serie $sum sin (1/n^alpha - 1/n^2)$ è assolutamente convergente e, dato che $|(sin (1/n^alpha - 1/n^2))/(log(n+1))| < |sin (1/n^alpha - 1/n^2)|$ per $n$ "sufficientemente grande", anche la serie assegnata è assolutamente convergente.