Studio di serie numeriche per confronto (se possibile)

[samwincester]

Salve a tutti,
ho provato a svolgere i seguenti esercizi per conto mio e non sempre con successo, conosco i risultati perchè sono riuscito a trovarli con wolfram alpha ma non sono sicuro del procedimento che ho adottato ne se sia possibile svolgerli con altri metodi.

Il prof richiede che siano risolti tutti con il metodo del confronto.

$ sum _(n=1) ^(+oo) nsin(1/(n^2+1)) $

$ sum _(n=1) ^(+oo) n(nln(1+1/(2n)))^n $

$ sum _(n=1) ^(+oo) n(nsin(1/(2n)))^n $

$ sum _(n=1) ^(+oo) (-1)^narcsin(1/n) $

ho scritto velocemente il post, appena posso edito e aggiungo le mie considerazioni per ogni esercizio

[solaàl]

Quando \(t\sim 0\), \(\sin t \sim t\), \(\log(1+t)\sim t\), e \(\arcsin t \sim t\).

[gugo82]

Dell'$arcsin$ t'importa poco e niente...

[samwincester]

Perdonatemi, alla fine mi sono completamente dimenticato di ritornare sul forum.

ho svolto gli esercizi come consigliato da solàal e ho ragionato nella seguente maniera:

ESERCIZIO 1

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$ sum _(n=1) ^(+oo) nsin(1/(n^2+1)) $
$ sum _(n=1) ^(+oo) n(1/(n^2+1)) $
$ sum _(n=1) ^(+oo) (n/(n^2+1)) $ che all'infinito è riconducibile a
$ sum _(n=1) ^(+oo) (n/(n^2)) $
$ sum _(n=1) ^(+oo) (1/(n)) $ quindi diverge

ESERCIZIO 2

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$ sum _(n=1) ^(+oo) n(nln(1+1/(2n)))^n $
$ sum _(n=1) ^(+oo) n(n*1/(2n)))^n $
$ sum _(n=1) ^(+oo) n(1/(2))^n $
$ sum _(n=1) ^(+oo) n1/2^n $ che può convergere perchè il relativo limite fa 0 e che converge perchè abbiamo una potenza con base <1

ESERCIZIO 3

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$ sum _(n=1) ^(+oo) n(nsin(1/(2n)))^n $
$ sum _(n=1) ^(+oo) n(n*1/(2n)))^n $
$ sum _(n=1) ^(+oo) n(1/(2))^n $
$ sum _(n=1) ^(+oo) n1/2^n $ ragionamento identico a quello dell'esercizio precedente

ESERCIZIO 4

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$ sum _(n=1) ^(+oo) (-1)^narcsin(1/n) $
$ sum _(n=1) ^(+oo) (-1)^n(1/n) $
per il criterio di Leibnitz converge

con i risultati "mi trovo" ma il ragionamento è quello giusto? la risposta è considerata completa ed esaustiva?
Avrei potuto risolvere l'ultimo senza Leibnitz?

[gugo82]

L'ultimo è sbagliatissimo.

[samwincester]

L'ultimo è sbagliatissimo.

quindi gli altri tre sono corretti?

$ lim _(n->+oo) (1/n) =0 $
$(1/n) $ è decrescente perchè per ogni n risulta che $ (1/(n+1))<1/n $

quindi posso applicare leibnitz e dire che converge.
Mi sono perso qualocsa?

[gugo82]

Sì.

Ti sei perso le ipotesi del criterio... In realtà le hai prese ovunque, ma negli altri casi tutto andava "magicamente" a posto.
Ma qui no.

[samwincester]

Ti sei perso le ipotesi del criterio... In realtà le hai prese ovunque, ma negli altri casi tutto andava "magicamente" a posto.
Ma qui no.

Con questo intendi dire che è sbagliato perchè non ho elencato le ipotesi o che è sbagliato perchè non si può risolvere così?
Se avessi elencato le ipotesi, sarebbe stato corretto? questo è quello che voglio capire

[gugo82]

Hai applicato il criterio meccanicamente, senza verificare che ne fossero soddisfatte le ipotesi.

[pilloeffe]

Ciao samwincester,

Il presente solo per segnalarti che le serie che ottieni negli esercizi 2 e 3 convergono perché sono del tipo

$\sum_{n = 1}^{+\infty}n x^n = x/(1 - x)^2 \qquad \text{ per } |x| < 1 $

ove in entrambi gli esercizi proposti $x = 1/2 < 1 $
La serie citata poc'anzi si può trovare facilmente derivando la serie geometrica.
Se fossi il tuo docente di Analisi matematica non ti darei per buona la motivazione che hai scritto nello svolgimento del secondo esercizio

[...] che converge perchè abbiamo una potenza con base < 1

Anche nella serie $\sum_{n = 1}^{+\infty}n^n (1/2)^n $ si ha una potenza con base < 1, ma quest'ultima serie è tutt'altro che convergente...