da gugo82 » 03/07/2020, 23:07
La frase “potranno definirsi combinazione lineare di $mathbf(w)$” non ha senso.
Indichiamo, tanto per capirci, con $A$ la matrice che ottieni mettendo in colonna i vettori $mathbf(u)$, $mathbf(v)$ e $mathbf(w)$.
Quando $det A =0$ le colonne di $A$ formano un sistema di vettori linearmente dipendenti, ma ciò è solo una condizione necessaria affinché $mathbf(w)$ dipenda da $mathbf(u)$ e $mathbf(v)$; per avere una condizione anche sufficiente devi controllare che le colonne $mathbf(u)$ e $mathbf(v)$ contengano un minore d’ordine $2$ non nullo.
Ora, hai:
$det A = |(1-k, 1+2k, 1), (1, 1+k, 2), (k, 1, 2)| = k^2 - k - 1 =0 <=> k = (1 +- sqrt(5))/2$
e
$A_(13,12) = |(1-k, 1+2k), (k, 1)| = -2k^2 - 2 k + 1 = 0 <=> k = (-1+- sqrt(3))/2$;
quindi quando $k=(1+-sqrt(5))/2$ hai $det A =0$ e $A_(13,12) !=0$, perciò per entrambi questi valori di $k$ le colonne $mathbf(u)$, $mathbf(v)$ e $mathbf(w)$ sono dipendenti e le colonne $mathbf(u)$ e $mathbf(v)$ sono indipendenti, ossia $mathbf(w)$ dipende da $mathbf(u)$ e $mathbf(v)$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)