Componenti reazioni vincolari

[Nexus99]

Una sbarra omogenea di lunghezza 2l e massa M è piegata di 90° nel suo centro 0. La sbarra è vincolata e ruota intorno ad 0. L'asse di rotazione è orizzontale (questa cosa non l'ho capita sinceramente) e privo di attrito. L'asta viene lasciata libera di ruotare partendo da ferma dalla posizione in figura. Calcolare:
1) il momento d'inerzia rispetto ad un asse perpendicolare al piano della sbarra e passante per 0
2) La posizione del centro di massa rispetto ad un sistema di riferimento che ha origine in 0 e asse z perpendicolare al piano della sbarra
3) L'accelerazione angolare quando la sbarra comincia a ruotare
4) la componente radiale e tangenziale della reazione vincolare quando la sbarra inizia a ruotare






I primi 3 punti li ho svolti e i risultati sembrano essere confermati e sono:
$ I = \frac{M*l^2}{3}$
$ \vec{r}_{CM} = (\frac{l}{4}, \frac{-l}{4})$
$ \alpha = \frac{3}{4} \frac{g}{l} $ (ricavata con la seconda equazione cardinale con polo O)

il 4 punti mi sta creando dei problemi, ho provato a risolvere la situazione con le seguenti equazioni in coordinate polari:
$\hat{u}_r : N_r + mgsin(\theta) = -m\omega^2l$
$\hat{u}_t : N_t - mgcos(\theta) = ml\alpha$
tuttavia a causa dell'angolo sono bloccato, potete darmi un suggerimento?

[Five]

L'asse di rotazione è orizzontale (questa cosa non l'ho capita sinceramente)

L’asse di rotazione è orizzontale , perpendicolare al piano in cui giacciono le due aste. Questo non è altro che un pendolo composto. È l’asse rispetto al quale hai calcolato il momento di inerzia.

tuttavia a causa dell'angolo sono bloccato

quale angolo ti blocca? Il testo chiede le componenti della reazione vincolare quando la sbarra inizia a ruotare.

Cioè, la sbarra viene abbandonata alla rotazione a partire dalla configurazione del disegno, no? E in questa configurazione, l’angolo che la congiungente O con il CM forma con la verticale è 45º .

[Nexus99]

l’angolo che la congiungente O con il CM forma con la verticale è 45º .

Si questo l'avevo ricavato già nel punto 3, però non so che farci

[Five]

Ho trovato questo argomento analogo al tuo :

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... e#p8335231

dacci un’occhiata . Soto spoiler in un messaggio c’è pure un esercizio preso da Mencuccini Silvestrini. Guarda anche quest’altra :

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 71#p546902


Per sintetizzare : la prima equazione della dinamica ci dice che :

$mveca = vecT + mvecg$

Nel punto O mettiamo due assi x ed y , il primo sempre normale all’asse , il secondo sempre nella direzione dell’asse ; quindi oscillano insieme al corpo rigido.

Semplifico chiamando $d$ la distanza $OG$ . Si ha :

$a_x =a_t = alphad$
$a_y=a_n = omega^2d$

poi proietta la 1º eq della dinamica sugli assi scelti , e trova le componenti di $vecT$ su questi.
$T_x$ e $T_y$ sono variabili con l’angolo. Ora mettici i valori che ti dà il problema.

[Nexus99]

Si effettivamente i segni erano sbagliati:

Chiamo $\hat{u}_r$ il versore radiale e $\hat{u}_t$ il versore tangenziale

$\hat{u}_r$ :  $R_r - mcos(45°) = m \omega^2 d $
dove $ d = \sqrt{2} \frac{l}{4}$

da cui, tenendo presente che per un pendolo fisico: $ \omega = \sqrt{\frac{mgd}{I}} $, si ricava

$R_r = mg \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{5}{2} $

Lungo la tangente:

$\hat{u}_t$ : $R_t - mgsin(45°) = - m \alpha d$

considerando che $\alpha$ è quella del punto 3 si ricava:

$R_t = mg \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{5}{8} $

 

Ma il risultato indicato è: $ (R_t , R_r) = Mg \frac{\sqrt{2}}{2} * (\frac{5}{8},1) $

[Dracmaleontes]

Non sono sicuro ma credo che $a_r$ debba essere 0

[l'abatefarina]

come dice giustamente dracmaleontes, $a_r=0$ perchè all'istante $t=0$ la velocità del centro di massa è zero

quindi si ha
$R_r-Mgsqrt2/2=0$

[Five]

da cui, tenendo presente che per un pendolo fisico: $ \omega = \sqrt{\frac{mgd}{I}} $

Ma non è vero, questo valore di $omega$ è solo la frequenza delle piccole oscillazioni del pendolo fisico, qui non c’entra per niente. Qui abbandoni il pendolo dalla quiete nella configurazione iniziale , percio, nell’istante iniziale la velocità angolare è nulla e dunque , come ti hanno detto, è nulla l’accelerazione radiale.

Ma il risultato indicato è: $ (R_t , R_r) = Mg \frac{\sqrt{2}}{2} * (\frac{5}{8},1) $

Si, questi risultati sono giusti. Ripetiamo da capo : hai già usato la seconda cardinale , e hai trovato l’accelerazione angolare nell’istante iniziale $ alpha = 3/4g/l$ , corretto. Nota che questa accelerazione angolare, come in ogni pendolo che si rispetti, è addirittura la massima durante tutta l’oscillazione, come del resto nel pendolo semplice. Poi diminuisce, non è costante, ma non ci interessa ora.
Nella figura seguente ho messo i tuoi simboli per evitare altra confusione:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ho messo la reazione $vecR$ dell’asse di oscillazione a sentimento , ma vedrai che è cosí. La reazione deve soddisfare la prima eq cardinale della dinamica :

$vecR + Mvecg = mveca $

dove $veca$ è l’accelerazione del CM , che ha due componenti : $a_t $ ed $a_r$ . Si può dire che in generale :

$a_r = omega^2d$ , e : $a_t = alphad$

sono entrambe variabili . Quanto vale $a_t$ nell’istante iniziale che ci interessa?

$a_t =alpha d = 3/4g/l*sqrt2/4 l = (3sqrt2)/(16) g $

adesso proiettiamo sui due assi $r$ e $t$ la prima eq cardinale :

$ma_t = Mgsentheta - R_t$
$ma_r = R_r - Mgcostheta$

abbiamo già i valori delle componenti dell’accelerazione nell’istante iniziale, vedi sopra . Allora, sostituendoli nelle precedenti, si ha:

$a_r = 0 rarr R_r = Mgcostheta = sqrt2/2Mg $

$R_t = Mgsentheta - Ma_t = .... =5/(16)sqrt2 Mg = 5/8 sqrt2/2Mg$ (verifica i passaggi, sostituendo il valore noto di $a_t$ ) .

E quindi i risultati in tuo possesso sono giusti. Questi risultati confermano che la $vecR$ è diretta come ho indicato nello schizzo. Adesso ti chiedo : perchè ?

[Nexus99]

Adesso ho capito, grazie mille a tutti per i suggerimenti

[Nexus99]

Rispondendo all'edit di Five:
E' proprio la domanda che mi stavo ponendo anche io.
Una mia ipotesi è che:
La componente radiale ha quel verso perchè la sbarra tende a "staccarsi" verso sinistra in virtù della forza peso, quindi questa reazione serve a impedire che il sistema si sposti orizzontalmente. Stessa cosa per la componente tangente, se non fosse in quel verso la sbarra cadrebbe in virtù della forza peso.
Dalla somma in quadratura delle 2 si ricava il verso di $vec{\R}$ (e direzione volendo)