Determinare un'applicazione lineare

[maria372]

Salve!
Sto cercando di risolvere questo esercizio ma non sono sicura di come sto agendo e per giunta non riesco a risolvere il secondo punto. L'esercizio è il seguente:
Sia data la matrice
$\A=((1,3,2),(4,0,1))$
-Determinare l'applicazione lineare $\T : RR^3 rarr RR^2$ che ammette $\A$ come matrice associata rispetto alle basi canoniche di $RR^3$ e $RR^2$.
-Determinare inoltre l'applicazione lineare $\f : RR^3 rarr RR^2$ che ammette $\A$ come matrice associata rispetto alla base $\B={(1,2,3),(3,0,2),(0,0,5)}$ di $RR^3$ ed alla base canonica di $RR^2$.

Per quanto riguarda il primo punto ho pensato di fare così:
Ho considerato la base canonica $\{e1,e2,e3}$ di $RR^3$. Dalla teoria sappiamo che esiste ed è unica l'applicazione lineare $\T : RR^3 rarr RR^2$ definita come $\T(1,0,0)=(1,4), T(0,1,0)=(3,0), T(0,0,1)=(2,1)$. Inoltre, essendo $\Im(T)$ generata dai vettori $\T(e1), T(e2), T(e3)$, essa possiede la proprietà richiesta. Quindi la formula generale per T è:
$\T(x,y,z)= T(xe1,ye2,ze3)=xT(e1)+yT(e2)+zT(e3)=
= x(1,4)+y(3,0)+z(2,1)=
=(x+3y+2z, 4x+z)$
Questo procedimento è corretto?
Invece come si procede con la seconda richiesta?
Vi ringrazio in anticipo!

[gugo82]

Per la 1) ok, ma la fai troppo lunga.
L'applicazione è data dalla legge:

$T(x,y,z) = A * ((x),(y),(z))$

che, svolgendo il prodotto, è quella che hai trovato tu.

Per la 2) tieni presente che le colonne di $A$ sono sempre le componenti rispetto alla base nel codominio delle immagini dei vettori della base del dominio.

[maria372]

Sono riuscita a svolgerlo. Grazie mille!

[gugo82]

Prego.

Sarebbe interessante sapere come, per vedere se hai capito il suggerimento.

[maria372]

Certo!
Ho considerato i vettori della base $\B$ in questo modo
$\(1,2,3)=e_1+2e_2+3e_3$
$\(3,0,2)=3e_1+2e_3$
$\(0,0,5)=5e_3$

So che $\F(1,2,3)=(1,4)$ , $\F(3,0,2)=(3,0)$ , $\F(0,0,5)=(2,1)$

quindi $\F(e_1+2e_2+3e_3)=(1,4)$
$\F(3e_1+2e_3)=(3,0)$
$\F(5e_3)=(2,1)$
$\F(5e_3)=5F(e_3)=(2,1)$ da cui $\F(e_3)=(2/5,1/5)$

$\F(3e_1+2e_3)=3F(e_1)+2F(e_3)=3F(e_1)+(4/5,2/5)=(3,0)$ quindi ho che $\(3,0)-(4/5,2/5)=3F(e_1)$
e ancora $\F(e_1)=(11/15,-2/15)$

$\F(e_1+2e_2+3e_3)=F(e_1)+2F(e_2)+3F(e_3)=(11/15,-2/5)+2F(e_2)+(6/5,3/5)=(1,4)$
quindi $\F(e_2)=(-7/15,53/30)$

quindi ho l'applicazione $T(x,y,z)=(11/15x-7/15y+2/5z,-2/15x+53/30y+1/5z)$
E' corretto agire in questo modo?

[Derio97]

In questo caso sì, in generale te lo sconsiglio dato che non è sempre immediato.
Per prima cosa devi trovare le immagini dei vettori di $B$, che corrispondono sempre alle loro coordinate rispetto a $C$, poi poni $(x,y,z)$ come combinazione lineare dei vettori di $B$.
Risolvendo il sistema ${ ( alpha+3beta=x ),( 2alpha=y ),( 3alpha+2beta+5gamma=z ):}$ si ottiene ${ ( alpha=y/2 ),( beta=(2x-y)/6 ),( gamma=-(4x+7y-6z)/30 ):}$ e quindi

$f(x,y,z)=f(y/2(1,2,3)+(2x-y)/6(3,0,2)-(4x+7y-6z)/30(0,0,5))=y/2(1,4)+(2x-y)/6(3,0)-(4x+7y-6z)/30(2,1)$

da cui segue il risultato.

[maria372]

Grazie mille per la dritta! Siete sempre di grande aiuto!