Esercizio operatore lineare

Messaggioda maria372 » 05/07/2020, 17:06

Salve a tutti! Ho nuovamente bisogno del vostro aiuto per risolvere il seguente esercizio.
Sia $\F: RR^3rarrRR^3$ l'operatore lineare avente la matrice

$\A=((0,1,0),(0,0,1),(-1,1,1))$

quale matrice associata rispetto alla base $\B={(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)}$ di $\RR^3$.
-Sia $\U$ il sottospazio vettoriale di $\R^3$ generato dai vettori $\(-1,1,2)$ e $\(0,-1,2)$ e sia $\W=F(U)$. Verificare se risulta $\RR^3=U+F(U)$ (somma diretta! Non so scrivere in formule il simbolo di somma diretta! :oops: ).
La mia difficoltà in questo esercizio sarebbe calcolarmi $\F(U)$. Dovrei calcolarmi le immagini di quei due vettori che generano $\U$? E se sì, come faccio? So che dovrei proporre io un modo per calcolarmi questi vettori ma purtroppo non mi viene in mente nulla! Spero in un vostro aiuto!
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Re: Esercizio operatore lineare

Messaggioda marco2132k » 05/07/2020, 17:46

\( \newcommand{\pt}[1]{\Bigl(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\Bigr)} \)Puoi rispondere subito "no": si vede a occhio che \( F \) è un automorfismo (manda una base - quella canonica - nella base fatta dalle colonne di \( A \)); e la dimensione di \( U \) è \( 2 \); e la dimensione di \( F(U) \) è \( 2 \), perché, appunto, \( F \) è un automorfismo. Ma la dimensione della somma diretta1 è la somma delle dimensione degli addendi.

maria372 ha scritto:La mia difficoltà in questo esercizio sarebbe calcolarmi \( F(U) \).
Se un vettore di \( U \) si scrive per definizione come \( \alpha\pt{-1\\1\\2} + \beta\pt{0\\-1\\2} \), allora è l'insieme delle combinazioni lineari \( \alpha F\pt{-1\\1\\2} + \beta F\pt{0\\-1\\2} \) al variare di \( \alpha,\beta\in\mathbb R \), no?.

Note

  1. Il simbolo è \oplus, ma credo che funzioni solo tra \( e \).
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Re: Esercizio operatore lineare

Messaggioda maria372 » 05/07/2020, 18:05

Prima di tutto grazie mille per la risposta e le spiegazioni! :D Tuttavia non ho capito come hai fatto a stabilire che si tratta di un automorfismo
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Re: Esercizio operatore lineare

Messaggioda marco2132k » 05/07/2020, 18:12

Un'applicazione lineare che manda una base in una base ammette inversa. (La dimostrazione ci deve essere per forza sul tuo libro di algebra lineare).
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Re: Esercizio operatore lineare

Messaggioda maria372 » 05/07/2020, 18:26

Purtroppo al momento non mi viene in mente questo teorema ma andrò a controllare sul mio libro!
Grazie mille della risposta, sei stato molto gentile! Ma vorrei chiederti un altro chiarimento e poi la finisco :D
Questo esercizio mi chiede anche di verificare se $\F$ sia diagonalizzabile...per farlo mi calcolo il polinomio caratteristico della matrice $\A$ ?
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Re: Esercizio operatore lineare

Messaggioda Bokonon » 05/07/2020, 19:29

maria372 ha scritto:Questo esercizio mi chiede anche di verificare se $\F$ sia diagonalizzabile...per farlo mi calcolo il polinomio caratteristico della matrice $\A$ ?

Certo e troverai che non è diagonalizzabile
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Re: Esercizio operatore lineare

Messaggioda marco2132k » 05/07/2020, 20:40

P.s. Sopra ho scritto che \( F \) manda i vettori della base canonica nella base di vettori fatta delle colonne di \(A\), ma è un errore: mi è sfuggito che \(A\) è la matrice di \(F\) rispetto a un’altra base. Non cambia nulla ovviamente, ma mi dava fastidio non dirlo.
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Re: Esercizio operatore lineare

Messaggioda maria372 » 07/07/2020, 10:45

Grazie mille! Credo di aver compreso.. quindi è un $\F$ è un automorfismo per quella motivazione e in più dovrei aggiungere che $\A$ è la matrice di $\F$ rispetto a un'altra base?
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