Esercizio su un integrale definito

[pilloeffe]

Ciao smule98,

Quindi se ho capito bene l'integrale doppio proposto è il seguente:

$ \int int_D sqrt(4-x^2-y^2)\text{d}x\text{d}y $

ove $D := {(x,y) \in \RR^2 : x^2 + (y - 1)^2 <= 1} $
Ricordando che l'equazione di una sfera è $x^2 + y^2 + z^2 <= 4a^2 $, nel caso in esame si tratta di calcolare il volume dell’intersezione del cilindro di equazione $x^2 + y^2 <= 2ay $ e della semisfera $ z = f(x,y) <= sqrt{4a^2 - x^2 - y^2} $ con $a = 1 $. Prima di tutto si può osservare che per ragioni di simmetria sarà sufficiente calcolare 2 volte il volume contenuto nel primo ottante, ossia per $x, y, z >= 0 $:

$V = 2 \int \int_{D_{>=0}}\sqrt(4a^2 - x^2 - y^2)\text{d}x\text{d}y $

A questo punto conviene fare uso delle coordinate polari centrate nell'origine in modo tale che invece di integrare la funzione $f(x, y) $ sull’insieme $D_{>=0} $ si integra la funzione $f(\rho; \theta) = \sqrt{4a^2 - \rho^2} $ sull’insieme
$\Phi^{-1}(D_{>=0}) = {(\rho, \theta): 0 <= \theta <= \pi/2, 0 <= \rho <= 2a sin\theta} $

Quindi ricordando lo jacobiano della trasformazione si ha:

$V = 2 \int int_{D_{>=0}}\sqrt(4a^2 - x^2 - y^2)\text{d}x\text{d}y = 2 \int\int_{\Phi^{-1}(D_{>=0})} \sqrt{4a^2 - \rho^2}\rho \text{d}\rho\text{d}\theta = $
$ = \int_0^{\pi/2}(\int_0^{2a sin\theta} \sqrt{4a^2 - \rho^2}\text{d}(\rho^2))\text{d}\theta =... $