Urto di un proiettile su una massa collegata ad una carrucola

[Dracmaleontes]

Due corpi di ugual massa M sono in equilibrio ai corpi di una corda inestensibile che si avvolge intorno ad una carrucola come in figura. Le masse del filo e della carrucola si possono considerare trascurabili. Si spara contro il corpo di dx un proiettile di massa m con velocità $\vec{v}$ diretta lungo la verticale e tangente al filo. Supponendo che il proiettile resti conficcato calcolare:
1) Il modulo della velocità $v_f$ con cui il sistema delle masse si mette in moto.
2) Il modulo dell'impulso $\vec{J}$ fornito dal supporto della carrucola durante l'urto.
3) Il modlo dell'accelerazione $\vec{a}$ con cui il sistema si mette in moto dopo l'urto



1) Ho provato a fare cosi:
Innanzitutto la quantità di moto del sistema si conserva:
$m|\vec{v}| = (m+M)|\vec{v}_{dx}| + M|\vec{v}_{sx}| $
e poi, essendo una carrucola, deve essere $|\vec{v}_{dx}| = |\vec{v}_{sx}| $
da cui si ricava $|\vec{v}_{sistema}| = \frac{m v}{m + 2M}$

2) Basterebbe fare:
$J_{sist} = \DeltaQ = Mv_{sistema} - (m+M)v_{sistema} + mv = 2 \frac{Mmv}{2M +m)$

3) Basta svolgere il sistema:
$(m+M)g - T = (m+M)a$
$Mg - T = -Ma$
da cui si ricava: $a = \frac{m g}{m + 2M} $
Vi sembra corretto?

[anonymous_0b37e9]

Ammesso e non concesso che la quantità di moto totale si conservi, la prima equazione che hai scritto, avendo trascurato il fatto che le due masse $M+m$ e $M$, dopo l'urto, si muovono lungo la verticale in verso opposto, non ha alcun senso. Ad ogni modo, poiché il punto 2) richiede il modulo dell'impulso fornito dal supporto della carrucola durante l'urto, conservare la quantità di moto totale è un controsenso.

[Dracmaleontes]

Quindi in realtà a conservarsi è solamente la quantità di moto tra il sistema proiettile - massa a destra?

[anonymous_0b37e9]

No. Poiché il supporto della carrucola, durante l'urto, esercita una forza di natura impulsiva, è necessario conservare il momento angolare rispetto al supporto medesimo.

[Dracmaleontes]

Ma non ho distanze, come potrei fare?

[anonymous_0b37e9]

Il raggio della carrucola si semplifica. Infatti, considerando positivo il momento angolare in senso orario:

$[mvR=(M+m)v_fR+Mv_fR] rarr [v_f=m/(2M+m)v]$

Inoltre, solo adesso è possibile determinare l'impulso fornito dal supporto della carrucola durante l'urto (diretto verso l'alto) come variazione della quantità di moto totale:

$J=(M+m)v_f-Mv_f-mv=m(v_f-v)=m(m/(2M+m)v-v)=-(2Mmv)/(2M+m)$

Giova sottolineare che il segno negativo è dovuto al fatto di aver considerato positiva la quantità di moto se diretta verso il basso.

[Dracmaleontes]

Grazie, ora mi è chiaro. Facendo i conti mi viene che la parte scalare dell'impulso è negativa, e per come è stato scelto il sistema di riferimento risulta essere rivolto verso l'alto. Come si spiega intuitivamente questo verso?

[anonymous_0b37e9]

Senza il supporto la conservazione della quantità di moto impone che il sistema (comprendente la carrucola) si muova verso il basso. Il supporto lo impedisce esercitando una forza impulsiva diretta verso l'alto.

[Dracmaleontes]

Umm ok. Ho un'ultima domanda e spero di non infastidirti troppo: la reazione vincolare è diretta allora verso l'alto e ha punto di applicazione nel centro della carrucola?

[anonymous_0b37e9]

Umm ...

Se hai ancora delle perplessità giova osservare che, se la reazione vincolare fosse nulla, la quantità di moto totale si conserverebbe:

$[mv=(M+m)v_f-Mv_f] rarr [v_f=v]$

e l'energia cinetica finale sarebbe maggiore di quella iniziale:

$DeltaE_c=1/2(M+m)v_f^2+1/2Mv_f^2-1/2mv^2=1/2(M+m)v^2+1/2Mv^2-1/2mv^2=Mv^2 gt 0$

Insomma, un assurdo. Quindi, per le argomentazioni precedenti, la reazione vincolare, il cui punto di applicazione è il centro della carrucola, è necessariamente diretta verso l'alto.