\[
\left\{\begin{matrix}
(2+t) \frac{\partial u}{\partial t} & = & \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}&& x \in ]0, \pi[& t >0 \\
u(0,t) & = &u(\pi,t)& =&0& t >0 \\
u(x,0) & = &f(x)&&& x \in ]0, \pi[
\end{matrix}\right.
\]
i) Trova una soluzione formale.
ii) Sotto l'ipotesi \(f \in L^1(0, \pi) \) dimostra la regolarità della soluzione.
iii) Sotto l'ipotesi che \(f \in \mathcal{C}^4 \) dimostra che \(\lim_{t \to 0} u(x,t) = f(x) \).
Avrei una domanda sulla parte ii). Metto la parte i) che magari ho sbagliato a trovare la soluzione formale. Ad ogni modo metto i procedimenti sotto spoiler così il commento non diventa inutilmente lungo.
Per i)
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
procedo con separazione di variabili e pongo \( u(x,t) = v(x)w(t) \).
Allora il problema diviene
\[
\left\{\begin{matrix}
(2+t) v(x)w'(t) & = & v''(x)w(t) && x \in ]0, \pi[& t >0 \\
v(0)w(t)& = &v(\pi)w(t)& =&0& t >0 \\
v(x)w(0) & = &f(x)&&& x \in ]0, \pi[
\end{matrix}\right.
\]
Innazittutto vediamo che nella prima equazione siccome ho \( (2+t) \frac{w'(t)}{w(t)} = \frac{v''(x)}{v(x)} \) allora necessariamente dev'essere uguale ad una costante \( \lambda \) poiché una derivata per rapporto a \(t \) unicamente è uguale ad una derivata per rapporto a \(x\) unicamente. La seconda equazione posso semplificare per \(w(t)\).
Separiamo in un problema in \(v \) e in un problema in \(w\).
Problema in \(v \):
\[
\left\{\begin{matrix}
v''(x)- \lambda v(x) &=& 0&&\\
v(0)&=&v(\pi)&=&0
\end{matrix}\right.
\]
Problema in \(w \):
\[
\left\{\begin{matrix}
\frac{w'(t)}{w(t)} = \frac{\lambda}{2+t}
\end{matrix}\right.
\]
e lascio da parte le condizioni che mischiano sia \(v\) che \(w\). E risolviamo il problema in \(v\). Abbiamo dunque che \( \lambda = - n^2 \) e \(v_n(x)=\alpha_n \sin(nx) \).
Dunque ora risolviamo il problema in \(w\)
\[ \frac{w'(t)}{w(t)} = -\frac{n^2}{2+t}\]
Abbiamo che \( \frac{d}{dt} \ln (w(t) ) =\frac{d}{dt} (-n^2 \ln (2+t) )\) e dunque prendendo l'esponenziale deduciamo che
\[ w(t)=\frac{k_n}{(2+t)^{n^2}} \]
Abbiamo pertanto, rinominando \( \alpha_n = \alpha_n k_n\) otteniamo dunque \( u_n(x,t)=\alpha_n \sin(nx)\frac{1}{(2+t)^{n^2}} \) e la soluzione formale è data da
\[ u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty} u_n(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} \alpha_n \sin(nx)\frac{1}{(2+t)^{n^2}} \]
Riprendendo la condizione lasciata da parte dovremmo avere che
\[ u(x,0)= \sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n \sin(nx)\frac{1}{2^{n^2}}=f(x) \]
Dunque se \(f\) si può scrivere come serie di Fourier in seno unicamente
\[ a_n = 2^{n^2} \alpha_n = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx\]
Pertanto otteniamo che
\[ u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty} u_n(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin(nx)\left( \frac{2}{(2+t)}\right)^{n^2} \]
che è il candidato alla nostra soluzioni formale.
Allora il problema diviene
\[
\left\{\begin{matrix}
(2+t) v(x)w'(t) & = & v''(x)w(t) && x \in ]0, \pi[& t >0 \\
v(0)w(t)& = &v(\pi)w(t)& =&0& t >0 \\
v(x)w(0) & = &f(x)&&& x \in ]0, \pi[
\end{matrix}\right.
\]
Innazittutto vediamo che nella prima equazione siccome ho \( (2+t) \frac{w'(t)}{w(t)} = \frac{v''(x)}{v(x)} \) allora necessariamente dev'essere uguale ad una costante \( \lambda \) poiché una derivata per rapporto a \(t \) unicamente è uguale ad una derivata per rapporto a \(x\) unicamente. La seconda equazione posso semplificare per \(w(t)\).
Separiamo in un problema in \(v \) e in un problema in \(w\).
Problema in \(v \):
\[
\left\{\begin{matrix}
v''(x)- \lambda v(x) &=& 0&&\\
v(0)&=&v(\pi)&=&0
\end{matrix}\right.
\]
Problema in \(w \):
\[
\left\{\begin{matrix}
\frac{w'(t)}{w(t)} = \frac{\lambda}{2+t}
\end{matrix}\right.
\]
e lascio da parte le condizioni che mischiano sia \(v\) che \(w\). E risolviamo il problema in \(v\). Abbiamo dunque che \( \lambda = - n^2 \) e \(v_n(x)=\alpha_n \sin(nx) \).
Dunque ora risolviamo il problema in \(w\)
\[ \frac{w'(t)}{w(t)} = -\frac{n^2}{2+t}\]
Abbiamo che \( \frac{d}{dt} \ln (w(t) ) =\frac{d}{dt} (-n^2 \ln (2+t) )\) e dunque prendendo l'esponenziale deduciamo che
\[ w(t)=\frac{k_n}{(2+t)^{n^2}} \]
Abbiamo pertanto, rinominando \( \alpha_n = \alpha_n k_n\) otteniamo dunque \( u_n(x,t)=\alpha_n \sin(nx)\frac{1}{(2+t)^{n^2}} \) e la soluzione formale è data da
\[ u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty} u_n(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} \alpha_n \sin(nx)\frac{1}{(2+t)^{n^2}} \]
Riprendendo la condizione lasciata da parte dovremmo avere che
\[ u(x,0)= \sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n \sin(nx)\frac{1}{2^{n^2}}=f(x) \]
Dunque se \(f\) si può scrivere come serie di Fourier in seno unicamente
\[ a_n = 2^{n^2} \alpha_n = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx\]
Pertanto otteniamo che
\[ u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty} u_n(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin(nx)\left( \frac{2}{(2+t)}\right)^{n^2} \]
che è il candidato alla nostra soluzioni formale.
ii)
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ora supponendo \(f \in L^1 \) devo dimostrare la regolarità. Dunque dimostrare
1) che \( u \in \mathcal{C}^{\infty} \) ed \(u_N \to u \) localmente uniformemente e
2) che \( \frac{\partial u}{\partial t} = \phi_{t} \), e \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \phi_x \).
Per fare ciò mi basta dimostrare che
1) \(u_N \to u \) puntualmente e
2) che \( \frac{\partial u_N}{\partial t} \to \phi_{t} \), e \( \frac{\partial^2 u_N}{\partial x^2} \to \phi_x \) localmente uniformemente.
Dove
\[ u_N(x,t) = \sum_{n=0}^{N} a_n \sin(nx)\left( \frac{2}{(2+t)}\right)^{n^2} \]
e
\[ \phi_t(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \sin(nx)\left( -2^{n^2}n^2 \cdot \frac{1}{(2+t)^{n^2+1}}\right) \]
e
\[ \phi_x(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} -n^2 a_n \sin(nx)\left( \frac{2}{(2+t)}\right)^{n^2} \]
Così posso usare un teorema che afferma dunque che \( u \in \mathcal{C}^{\infty} \) e \( \frac{\partial u}{\partial t} = \phi_{t} \) e \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \phi_x \).
E in questo modo dimostro la regolarità. O basterebbe dimostrare che \(u \in \mathcal{C}^2 \) ? Ed il fatto che \( u \in \mathcal{C}^{\infty}\) è gratuito.
Enuncio il teorema per semplicità di notazione solo per il primo ordine di derivata ma è generalizzabile.
Sia \( \Omega \subset \mathbb{R}^n \) un aperto, \( u_n \in \mathcal{C}^1(\Omega) \) una successione di funzioni e \(u,g_1,\ldots,g_n : \Omega \to \mathbb{R} \) tale che
\[ u_n(x) \to u(x), \forall x \in \Omega \]
e
\[ \frac{\partial u_n}{\partial x_i} \to g_i \]
localmente uniformemente in \( \Omega \) per ogni \( i \leq i \leq n \).
Allora
1) \( \frac{\partial u}{\partial x_i} = g_i \)
2) \(u_n \) converge verso \(u\) localmente uniformemente in \( \Omega\).
1) che \( u \in \mathcal{C}^{\infty} \) ed \(u_N \to u \) localmente uniformemente e
2) che \( \frac{\partial u}{\partial t} = \phi_{t} \), e \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \phi_x \).
Per fare ciò mi basta dimostrare che
1) \(u_N \to u \) puntualmente e
2) che \( \frac{\partial u_N}{\partial t} \to \phi_{t} \), e \( \frac{\partial^2 u_N}{\partial x^2} \to \phi_x \) localmente uniformemente.
Dove
\[ u_N(x,t) = \sum_{n=0}^{N} a_n \sin(nx)\left( \frac{2}{(2+t)}\right)^{n^2} \]
e
\[ \phi_t(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \sin(nx)\left( -2^{n^2}n^2 \cdot \frac{1}{(2+t)^{n^2+1}}\right) \]
e
\[ \phi_x(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} -n^2 a_n \sin(nx)\left( \frac{2}{(2+t)}\right)^{n^2} \]
Così posso usare un teorema che afferma dunque che \( u \in \mathcal{C}^{\infty} \) e \( \frac{\partial u}{\partial t} = \phi_{t} \) e \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \phi_x \).
E in questo modo dimostro la regolarità. O basterebbe dimostrare che \(u \in \mathcal{C}^2 \) ? Ed il fatto che \( u \in \mathcal{C}^{\infty}\) è gratuito.
Enuncio il teorema per semplicità di notazione solo per il primo ordine di derivata ma è generalizzabile.
Sia \( \Omega \subset \mathbb{R}^n \) un aperto, \( u_n \in \mathcal{C}^1(\Omega) \) una successione di funzioni e \(u,g_1,\ldots,g_n : \Omega \to \mathbb{R} \) tale che
\[ u_n(x) \to u(x), \forall x \in \Omega \]
e
\[ \frac{\partial u_n}{\partial x_i} \to g_i \]
localmente uniformemente in \( \Omega \) per ogni \( i \leq i \leq n \).
Allora
1) \( \frac{\partial u}{\partial x_i} = g_i \)
2) \(u_n \) converge verso \(u\) localmente uniformemente in \( \Omega\).