Stickelberger ha scritto:Ma hai davvero bisogno dell’assioma della scelta?
Sia $A$ un insieme. Una relazione di equivalenza e’ un sottoinsieme
di $A\times A$ e quindi un elemento di $P(A\times A)$. Una partizione
di $A$ e’ un’insieme di sottoinsiemi di $A$ e quindi un elemento di $P(P(A))$
Adesso definisco $f:P(A\times A) \rightarrow P(P(A))$ in questo modo
$f(R)=\{\{b\in A:(a,b)\in R\}:a\in A\}$
Se $R$ e’ una relazione di equivalenza, allora $f(R)$ e’ la partizione
costituita dalle sue classi di equivalenza.
Ho usato l’assioma della scelta?
Ok, trovato. Qui:
$f(R)$ e’ la partizione costituita dalle sue classi di equivalenza.
Serve un argomento non costruttivo per mostrare che le classi di equivalenza formano una partizione. Più in particolare, se \(R \subseteq X\times X\) è una relazione di equivalenza, può succedere che le classi di equivalenza \([x], [y]\) di due elementi distinti (nozione, quella di "elemento" che non esiste se non in maniera generalizzata) si intersechino non nell'iniziale, e tuttavia non ci siano elementi con cui separarli.
"In verità le cose che nella vita sono tenute in gran conto si riducono a vanità, o putredine di nessun valore; botoli che si addentano, bambocci litigiosi che ora ridono, poi tosto piangono." (Lotario conte di Segni)