Famiglia di insiemi

[Pasquale 90]

Buongiorno,

Per famiglia di insieme si intende una applicazione che va da $I$ in un insieme di insieme.
(Correggetemi se sbaglio)
Quindi per un insieme di insieme posso considerare l'insieme delle parti di un dato insieme $S$, cioè $P(S)={X| subseteq S}$, quindi la seguente funzione $f:i in I to f_i=X_i in P(S)$ allora $f$ è una famiglia di insieme.
Mi chiedo ma $X_i$ dovrebbe essere definito?

Ciao

[vict85]

Non comprendo molto ciò che intendi dire, forse ci sono errori nella notazione. Vuoi definire una famiglia (indicizzata) di insiemi come una famiglia (indicizzata) di sottoinsiemi? A seconda del problema questo può o meno avere senso.

[Pasquale 90]

Ciao vict85,

volevo far chiarezza sul concetto di famiglia di insiemi, sul libro viene definita nella seguente maniera "forse prima sono stato poco chiaro"

Definizione:
Sia $(S_i)_(i in I)$ una famiglia di insiemi, cioè una applicazione di $I$ in un insieme di insiemi.
Ora vorrei far un esempio di famiglia di insiemi, quindi considero la seguente applicazione $ f:i in I to f_i=X_i in P(S) $

Il punto è:
$f$ è una famiglia di insiemi,
$f$ è ben definita

Ciao.

[vict85]

\(\wp(S)\) per un qualche insieme \(S\) è un insieme di insiemi. Quindi ogni funzione \(I\to \wp(S)\) definisce una famiglia di insiemi.

[Pasquale 90]

Ok grazie vict85, ti volevo chiedere un'altra cosa;

una partizione $F$ di un insieme $S$ è un insieme di insiemi, quindi una volta che ho una partizione di un insieme "Teorema fondamentale " esiste un'unica relazione di equivalenza $R_F$ tale che $F=S/R_F$, quindi posso considerare l'applicazione $\pi : i in I \ to \ \pi(i) in F=S/(R_F)$
Quindi anche $pi$ definisce una famiglia di insiemi.

[vict85]

Non sono un esperto di teoria assiomatica degli insiemi, ma direi che ti trovi ad avere a che fare con l'assioma della scelta https://it.wikipedia.org/wiki/Assioma_della_scelta .

[solaàl]

Sì, se $S$ è un insieme, esiste una biiezione tra l'insieme delle partizioni di $S$ e l'insieme delle relazioni di equivalenza su $S$; un verso non necessita di AC, l'altro (definire una partizione di $S$ a partire da \(R \in \text{EqvR}(S) \)) invece sì, perché devi prendere un trasversale del quoziente.

[Stickelberger]

Ma hai davvero bisogno dell’assioma della scelta?

Sia $A$ un insieme. Una relazione di equivalenza e’ un sottoinsieme
di $A\times A$ e quindi un elemento di $P(A\times A)$. Una partizione
di $A$ e’ un’insieme di sottoinsiemi di $A$ e quindi un elemento di $P(P(A))$

Adesso definisco $f:P(A\times A) \rightarrow P(P(A))$ in questo modo

$f(R)=\{\{b\in A:(a,b)\in R\}:a\in A\}$

Se $R$ e’ una relazione di equivalenza, allora $f(R)$ e’ la partizione
costituita dalle sue classi di equivalenza.

Ho usato l’assioma della scelta?

[solaàl]

Effettivamente sembra di no. Curioso, quando ho fatto questo esercizio avevo avuto la sensazione che la biiezione tra partizioni di $A$ e relazioni di equivalenza su $A$ usasse l'assioma della scelta. Il quale però è evidentemente necessario per trovare una sezione alla proiezione \(A \twoheadrightarrow A/R\).

Qualcosa di non costruttivo però deve esserci anche nella dimostrazione di sopra.

L'unica cosa che mi viene in mente ora è che serva per dimostrare che le classi di equivalenza sono disgiunte.

[solaàl]

Ma hai davvero bisogno dell’assioma della scelta?

Sia $A$ un insieme. Una relazione di equivalenza e’ un sottoinsieme
di $A\times A$ e quindi un elemento di $P(A\times A)$. Una partizione
di $A$ e’ un’insieme di sottoinsiemi di $A$ e quindi un elemento di $P(P(A))$

Adesso definisco $f:P(A\times A) \rightarrow P(P(A))$ in questo modo

$f(R)=\{\{b\in A:(a,b)\in R\}:a\in A\}$

Se $R$ e’ una relazione di equivalenza, allora $f(R)$ e’ la partizione
costituita dalle sue classi di equivalenza.

Ho usato l’assioma della scelta?

Ok, trovato. Qui:

$f(R)$ e’ la partizione costituita dalle sue classi di equivalenza.

Serve un argomento non costruttivo per mostrare che le classi di equivalenza formano una partizione. Più in particolare, se \(R \subseteq X\times X\) è una relazione di equivalenza, può succedere che le classi di equivalenza \([x], [y]\) di due elementi distinti (nozione, quella di "elemento" che non esiste se non in maniera generalizzata) si intersechino non nell'iniziale, e tuttavia non ci siano elementi con cui separarli.