Endomorfismi e autovettori

Messaggioda Alessia00Ma » 06/07/2020, 18:53

Ciao a tutti, sto avendo molta difficoltà con gli esercizi di Geometria e algebra, non riesco a risolvere quelli parametrici.

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Stavo cercando di risolvere questo tipo di esercizio ma non so come procedere. Potreste aiutarmi? Grazie!
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Re: Endomorfismi e autovettori

Messaggioda Bokonon » 06/07/2020, 20:47

Ma nemmeno un'idea?
Per capire come si comporta l'endomorfismo, al minimo uno calcola il $det(A)$
Se scopre che il determinate è sempre diverso da zero (quindi non dipende da k), cosa ne deduce?
Per il secondo punto...io fisserei attentamente la matrice. Mmm, mi dice qualcosa...
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Re: Endomorfismi e autovettori

Messaggioda Alessia00Ma » 07/07/2020, 09:54

Ho calcolato il determinante della matrice, è uguale a -4, dunque è indipendente da K. Se il determinante è sempre diverso da zero so che la matrice ha rango massimo (quindi rk = 3) e l'endomorfismo è biettivo, giusto?

Per il secondo punto devo calcolare il polinomio caratteristico e verificare che siano soddisfatte le condizioni del criterio di diagonalizzabilità, ma non riesco a calcolare gli autovalori.
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Re: Endomorfismi e autovettori

Messaggioda Bokonon » 07/07/2020, 14:06

Alessia00Ma ha scritto:Ho calcolato il determinante della matrice, è uguale a -4, dunque è indipendente da K. Se il determinante è sempre diverso da zero so che la matrice ha rango massimo (quindi rk = 3) e l'endomorfismo è biettivo, giusto?

Giusto. Quindi la risposta è che l'endomorfismo è sempre un automorfismo per qualsiasi valore di k.
Alessia00Ma ha scritto:Per il secondo punto devo calcolare il polinomio caratteristico e verificare che siano soddisfatte le condizioni del criterio di diagonalizzabilità, ma non riesco a calcolare gli autovalori.

Non hai fissato la matrice...altrimenti ti saresti accorta che è simmetrica :?
Segue che la matrice ha sempre autovalori reali ed è sempre diagonalizzabile (teorema spettrale).
Ricavare il suo polinomio caratteristico in una forma semplificata non è immediato ma nemmeno difficile...devi fare pratica: $(lambda-2)(lambda^2-klambda-2)=0$

...continua da qua.
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Re: Endomorfismi e autovettori

Messaggioda Alessia00Ma » 07/07/2020, 19:44

Bokonon ha scritto:
Alessia00Ma ha scritto:Ho calcolato il determinante della matrice, è uguale a -4, dunque è indipendente da K. Se il determinante è sempre diverso da zero so che la matrice ha rango massimo (quindi rk = 3) e l'endomorfismo è biettivo, giusto?

Giusto. Quindi la risposta è che l'endomorfismo è sempre un automorfismo per qualsiasi valore di k.
Alessia00Ma ha scritto:Per il secondo punto devo calcolare il polinomio caratteristico e verificare che siano soddisfatte le condizioni del criterio di diagonalizzabilità, ma non riesco a calcolare gli autovalori.

Non hai fissato la matrice...altrimenti ti saresti accorta che è simmetrica :?
Segue che la matrice ha sempre autovalori reali ed è sempre diagonalizzabile (teorema spettrale).
Ricavare il suo polinomio caratteristico in una forma semplificata non è immediato ma nemmeno difficile...devi fare pratica: $(lambda-2)(lambda^2-klambda-2)=0$

...continua da qua.


Quindi per k = -1 lo spettro di f contiene l'autovalore lambda = 1, giusto?

Grazie mille per la spiegazione, mi hai chiarito parecchi dubbi!
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Re: Endomorfismi e autovettori

Messaggioda Bokonon » 07/07/2020, 20:15

Alessia00Ma ha scritto:
Quindi per k = -1 lo spettro di f contiene l'autovalore lambda = 1, giusto?

Esatto.
Extra credits question...per quali valori di k ci sono due radici coincidenti?
Alessia00Ma ha scritto:Grazie mille per la spiegazione, mi hai chiarito parecchi dubbi!

Non è finita...l'esercizio ti chiede di trovare anche la base di autovettori
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