da pilloeffe » 04/11/2020, 11:20
Bentornato AlfaMath!
Dunque, a parte che potevi scrivere subito il link invece che postare immagini che andrebbero sempre evitate, a me risulta che si possa scrivere
$ \oint_{\Gamma} z^{\alpha}/(P(z)) \text{d}z = [1 - e^{2\pi \alpha i}] \int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(P(x)) \text{d}x = - 2i e^{i\pi \alpha} sin(\pi \alpha) \int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(P(x)) \text{d}x $
da cui
$ \int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(P(x)) \text{d}x = 1/[1 - e^{2\pi \alpha i}] \oint_{\Gamma} z^{\alpha}/(P(z)) \text{d}z = 1/[- 2i e^{i\pi \alpha} sin(\pi \alpha)] \oint_{\Gamma} z^{\alpha}/(P(z)) \text{d}z = - e^{- i\pi \alpha}/(2i sin(\pi \alpha)) \oint_{\Gamma} z^{\alpha}/(P(z)) \text{d}z $
a patto che l'integrale $\int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(P(x)) \text{d}x $ converga, e questo accade se $ - 1 < \text{Re}[\alpha] < \text{deg}[P(x)] - 1 $ che,
essendo nel tuo caso $\alpha$ reale, diventa $ - 1 < \alpha < \text{deg}[P(x)] - 1 $
Quindi il caso $\alpha = 8/3 $ che hai citato è possibile, ad esempio se $\text{deg}[P(x)] = 4 $
Non sono tanto d'accordo sulla '"formula per il calcolo immediato" di integrali di questa forma' citato dal testo, perché personalmente mi paiono un po' più pratiche le formule coi residui seguenti:
$\int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(P(x)) \text{d}x = (2\pi i)/[1 - e^{2\pi \alpha i}] \sum \text{Res} [z^{\alpha}/(P(z))] = - \frac{\pi e^{-i\pi \alpha}}{sin(\pi \alpha)} \sum \text{Res} [z^{\alpha}/(P(z))] $
ove la sommatoria si intende estesa ai residui della funzione $z^{\alpha}/(P(z))$ relativi a tutte le sue singolarità polari, cioè agli zeri di $P(z) $.
