Una dimostrazione del fatto che la matrice di \( \phi^* \) è la trasposta della matrice di \( \phi \)

[marco2132k]

Ciao. Siano \( U \), \( V \) due spazi vettoriali di dimensione finita, e siano \( U^* \) ed \( V^* \) i loro duali.

Come premessa ricordo che, a basi e basi duali degli spazi fissate, è (con \( \circ \) indico la dualità canonica)
\[
v\circ\xi = \sum_i x_iy_i
\] per ogni vettore \( v\in V \) e \( \xi\in V^* \) di coordinate \( x_i \) e \( y_i \) rispettivamente. Ricordo anche che, se \( \phi\colon U\to V \) è lineare, esiste un'unica mappa \( \phi^*\colon V^*\to U^* \) tale che
\[
u\circ\phi^*(\xi) = \phi(u)\circ\xi
\] per ogni \( \xi\in V^* \), \( u\in U \).

Ora la domanda. Per provare che la matrice dell'applicazione trasposta di una lineare \( \phi\colon U\to V \) è la trasposta della matrice di \( \phi \), diciamo \( A \) e \( B \), rispettivamente, la matrice di \( \phi \) e la matrice di \( \phi^* \) - in due basi di \( U \) e \( V \), e nelle loro basi duali; vale allora l'uguaglianza in coordinate¹ \[
{}^ty({}^tBx) = {}^ty(Ax)
\] dove \( y \) è il vettore delle coordinate di \( \xi\in V^* \), e \( x \) è il vettore delle coordinate di \( u\in U \). La tesi, mi si dice, discende dall'unicità di \( \phi^* \). Mi sono incasinato: perché?

Io porrei \( \psi \) pari all'applicazione lineare \( U\to V \) di matrice \( {}^tB \) nelle basi opportune, e interpreterei la precedente come
\[
u\circ\phi(\xi) = u\circ\psi(\xi)
\] Allora la tesi segue dal fatto che \( \circ \) è bilineare non degenere.

P.s. Non vale scrivere esplicitamente \( B \), quello so farlo anch'io!

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Note

1. Se c'è il dubbio: basta applicare la prima affermazione che ho fatto, qua su. ↑

[solaàl]

Formalmente, hai definito due applicazioni bilineari \(B,A^t : V\otimes V^\star \to K\); se queste coincidono su una base (lo fanno) coincidono ovunque.

In coordinate, la base di \(V\otimes V^\star\) è \(e_{ij} = \xi_i\otimes v_j\), se \(\{\xi_i\}=\mathcal V^\star\) è la base duale dei \(\{v_i\}=\mathcal V\). Del resto, \(B( \xi_i\otimes v_j) = (v_i^t, Bv_j) = B_{ij}\) e \(A^t( \xi_i\otimes v_j) = (v_i^t ,A^tv_j) = A_{ij}^t = A_{ji}\).

[marco2132k]

Non riesco a capire chi sono nel mio setup quelle applicazioni bilineari (?) \( V\otimes V^*\to K \). In teoria dovrei poter identificare \( \phi\colon U\to V \) con il vettore \( \sum_i\sum_ja_{ij}\bigl(u_i^*\otimes v_j\bigr) \) di \( U^*\otimes V \) (con \( \mathcal U = \left\{u_i^*\right\} \) base duale) e/o fare una cosa simile per \( \phi^* \): intendi questo?

Ah, sì! Cercavo anche di capire perché "la tesi discende dall'unicità di \( \phi^* \)", nella mia dimostrazione.

[solaàl]

Sì, le entrate di una matrice non sono altro che le coordinate di un elemento di \(V^\star\otimes W\).