Problema sul sifone

[albalonga]

Svolgendo alcuni esercizi per prepararmi all'esame di fisica (corso di onde, fluidi e termodinamica) riscontro un dubbio enorme sul sifone.

Per la verità è un esercizio che ho trovato su google

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Il mio dubbio è il seguente: è evidente che applicando bernoulli tra il punto 2 e 3 si ha quel risultato. Tuttavia la situazione a monte non mi è molto chiara. Infatti se io applicassi Bernoulli tra 1 e 2 avrei (assumendo $h_1=0$): $p_1=p_2+rhog(h+y)$

$p_1$ è però pari a (stevino): $p_1=p_a+rhogh$

Quindi: $p_a+rhogh=p_2+rhogh+rhogy$ e ricavando y imponendo al limite in 2 la P2=0: $y=p_a/(rhog)$ quindi più alta di quanto mostrato nella foto. Io avrei indicato questa come risultato.

Il dubbio mi sembra essere ragionevole perché seppur sia vero che il secondo tratto di ramo non possa creare una depressione maggiore di $p=0$ aumentando l'altezza di y non varia la depressione apportata dal secondo tratto del sifone, però continua a essere zero.
y però può aumentare finché il tratto a monte (primo tratto del sifone fino alla cima) non raggiunga pressione zero e questo avviene alla quota $y=p_a/(rhog)$ maggiore di $y=p_a/(rhog)-h$ presente nello svolgimento.

Se così fosse però alla cima (punto 2) avremmo un problema di continuità dello scalare pressione perché a destra mi indica essere zero, mentre a sinistra alla quota $y=p_a/(rhog)-h$ dell'esercizio, per bernoulli avrebbe una pressione maggiore di zero (essa sarebbe difatti nulla a $y=p_a/(rhog)$) come spiegato sopra. Quindi lo zero sarebbe più in alto.

Come uscire dall'inghippo?

[Faussone]

La velocità in 2 non è nulla quindi è sbagliato come applichi Bernouilli tra 1 e 2, inoltre non ho capito come avresti applicato la equazione di Stevino (e comunque quella vale in fluidostatica, cioè per fluidi fermi).

[albalonga]

Hai ragione sono stato poco chiaro, provo a spiegare meglio

La velocità in 2 non è nulla quindi è sbagliato come applichi Bernouilli tra 1 e 2

Intendo con 1 la bocca d'entrata del tubicino. Non la superficie libera, per questo essendo nel tubo la velocità costante, data la costanza della sezione, elido il contributo cinetico.
Questo lo faccio poiché la sezione della botte è più grande di quella del tubo quindi posso considerare (come per torricelli) il pelo fermo e applico stevino.

inoltre non ho capito come avresti applicato la equazione di Stevino (e comunque quella vale in fluidostatica, cioè per fluidi fermi)

L'ho applicato per trovare p1 alla bocca d'entrata del tubo, con la spiegazione della mia svista sopra riguardo quale fosse 1 nel disegno credo ora si capisca.

Grazie.

[Faussone]

Comunque non puoi applicare Stevino per calcolare la pressione all'ingresso del tubicino perche la velocità del fluido lì non è nulla.

[albalonga]

Eccolo l'errore, grazie!

Posso chiederti allora come si applichi bernoulli sul primo tratto? Sul secondo mi è chiaro, però vorrei vedere come sia applicato correttamente in formule sul primo. Così potrei ragionarci sopra e capire.
Credosia un buon esempio da comprendere.

[Faussone]

Nel primo tratto scriveresti:
$p_0+rho g h=p_1+1/2 rho v_1^2$
(intendendo con $p_1$ e $v_1$ la pressione e velocità all'imbocco del tubo).
Come vedi è equivalente in qualche modo a applicare Bernouilli tra pelo libero e sezione 3, come fa la soluzione (questo perché si stanno trascurando tutte le perdite).

Secondo me poi nel disegno la differenza di altezza tra imbocco e pelo libero non è $h$, ma non è data (l'ho presa pari a $h$ come hai inteso tu solo per esprimere Bernouilli).

[albalonga]

Ho capito quello che hai scritto, però in realtà volevo applicare bernoulli tra imboccatura e altezza massima del sifone. La soluzione di b) è invece fatta applicando tra punto 3 e punto 2 (altezza massima).

In qualche modo penso che la soluzione $y=p_a/(rhog)-h$ imponendo $p_2=0$ debba essere identica a imporre $p_2=0$ e applicando bernoullli tra punto 1 (inteso come imboccatura di pescaggio) e punto 2 (cima).

Dovrebbe essere così per continuità, però se applico bernoulli tra imboccatura a sx e altezza massima del sifone possibile avrei:

$p_1=p_2+rhog(h+y)=>y=p_1/(rhog)-h$ avendo imposto $p_2=0$ e quindi avrò che $p_1$ dovrà essere uguale a $p_a$? E'giusto?

[Faussone]

[...]
$ p_1=p_2+rhog(h+y)=>y=p_1/(rhog)-h $ avendo imposto $ p_2=0 $ e quindi avrò che $ p_1 $ dovrà essere uguale a $ p_a $? E'giusto?

Esattamente, in effetti con le ipotesi date si ha proprio che $p_1=p_0 \equiv p_a$, dato che $v_1=sqrt(2 g h)$

[albalonga]

[...]
$ p_1=p_2+rhog(h+y)=>y=p_1/(rhog)-h $ avendo imposto $ p_2=0 $ e quindi avrò che $ p_1 $ dovrà essere uguale a $ p_a $? E'giusto?

Esattamente, in effetti con le ipotesi date si ha proprio che $p_1=p_0 \equiv p_a$

Grazie mille, pensavo che avendo una massa d'acqua sopra ne risentisse comunque anche se in moto e non statico equindi p1>p0=pa, invece era già compendiata nella cinetica.

Però a questo punto non capisco quanto segue..

Quello che non capisco nell'applicare bernoulli tra 2 e 3 è questo: se io a monte avessi una pressione superficie libera esterna $p_i>p_a$ con pi sulla sup. libera e pa in uscita alla seconda imboccatura, ebbene se io calcolo bernoulli solo tra 2 e 3 mi direbbe che il sifone non funziona sopra un valore di $y=p_a/(rhog)-h$, tuttavia applciandolo tra 1 e 2 in questo caso dovrebbe far si che l'acqua possa salire di più di prima. Quindi non posso determinare l'altezza massima del sifone solo considerando il tratto 2-3. Mi stona tanto sta cosa.

[Faussone]

Fai i conti bene considerando quella pressione ambiente a sinistra superiore alla pressione di uscita a destra , prima ripercorrendo la soluzione proposta (considerando le due pressioni ora diverse) e poi vedendo Bernouilli nel tratto che dici 1-2 .....e vedrai che tutto torna.