[EX] Studio qualitativo

[gugo82]

Problema:

1. Studiare le soluzioni massimali del P.d.C.:
\[
\begin{cases}
z^\prime (x) = \frac{1}{1 + x^2}\ (e^{z(x)} + e^{-z(x)}) \\
z(0) = z_0
\end{cases}
\]
con $z_0 \in RR$.

2. Risolvere esplicitamente il P.d.C. del punto 1.

3. Mostrare che le soluzioni massimali del P.d.C.:
\[
\begin{cases}
y^{\prime \prime} (x) = \frac{1}{1 + x^2}\ (e^{y^\prime (x)} + e^{-y^\prime (x)}) \\
y(0) = y_0 \\
y^\prime (0) = 0
\end{cases}
\]
con $y_0 \in RR$ hanno in $0$ un minimo assoluto.

4. Studiare le soluzioni massimali del P.d.C.:
\[
\begin{cases}
y^{\prime \prime} (x) = \frac{1}{1 + x^2}\ (e^{y^\prime (x)} + e^{-y^\prime (x)}) \\
y(0) = y_0 \\
y^\prime (0) = z_0
\end{cases}
\]
con $y_0, z_0 \in RR$ ed esprimerle esplicitamente.


P.S.: Non ho le soluzioni.

[l'abatefarina]

rispondo alla 1 e 2,almeno per adesso

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

posto $z'=f(x,z)$, si ha che il dominio di $f(x,z)$ è $R^2$
essendo $ (partial f)/(partial z) =1/(1+x^2)(e^z-e^(-z)) $ continua nel dominio di $f$ il problema di Cauchy ammette un'unica soluzione
dall'espressione di $f$ si evince che la soluzione è strettamente crescente
a questo punto
$ int_(z_0)^(z) 1/(e^t-e^-t) dt=int_(0)^(x) 1/(1+t^2) dt $ , cioè
$arctane^z-arctane^(z_0)=arctanx$
per $z rarr +infty$ si ha $arctanx rarr pi/2-arctane^(z_0)$ cioè $x rarr 1/e^(z_0)$ e quindi $x=1/e^(z_0)$ asintoto verticale
per $z rarr -infty$ si ha $arctanx rarr -arctane^(z_0)$ cioè $x rarr -e^(z_0)$ e quindi $x=-e^(z_0)$ asintoto verticale
ne segue che la soluzione massimale è definita nell'intervallo $(-e^(z_0); 1/e^(z_0))$
per la soluzione esplicita,
$e^z=tan(arctanx+arctane^(z_0))$, cioè $e^z=(x+e^(z_0))/(1-e^(z_0)x)$
e quindi $ z=ln ((x+e^(z_0))/(1-e^(z_0)x))$

[l'abatefarina]

punto 3

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posto $z=y'$ si ha che $z(x)$ è soluzione del problema di Cauchy
$ z'=1/(1+x^2)(e^z+e^-z ),
z(0)=0 $
che ha come soluzione $z=ln((x+1)/(1-x))$
ma allora $y(x)$ è soluzione del problema di Cauchy $ y'=ln((x+1)/(1-x) ),y(0)=y_0 $ in $(-1,1)$
è facile vedere che$y'(0)=0; y'<0$ per $-1<x<0$ e $y'>0$ per $0<x<1$

[l'abatefarina]

punto4

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con ragionamenti analoghi al punto 3, si arriva al problema di Cauchy
$y'=ln((x+e^(z_0))/(1-e^(z_0)x)); y(0)=y_0$
con soluzione massimale definita in $(-e^(z_0);1/e^(z_0)) $
e minimo assoluto in $x=(1-e^(z_0))/(1+e^(z_0))$