Delta di Dirac

[olliz92]

Buonasera,
sono uno studente di ingegneria e mi è sorto un dubbio sulla delta di dirac. Nel corso di microonde abbiamo definito una sorgente impressa collocata nell'origine sfruttando la funzione della delta di dirac. Dopo vari passaggi siamo arrivati a fare l'integrale di volume della delta di dirac considerando come volume una sferetta di raggio infinitesimo (quindi che tende a zero). Praticamente il risultato di questo integrale di volume è stato pari ad 1 ed il professore ci ha detto che ciò è dovuto alle proprietà che della di dirac (proprietà del campionamento definite). Vorrei capire il perchè se qualcuno può aiutarmi. Spero di non aver sbagliato sezione. Grazie in anticipo.

[gugo82]

Il problema è: che cos'è $delta$? Come te l'hanno definita?

[Flamber]

Il modo rigoroso (non ho detto il più rigoroso ) per definirla è il seguente:

Dato un segnale test $\varphi(t) in \mathcal{D}$, si definisce delta di Dirac la distribuzione $\delta(t) in \mathcal{D}'$ il cui effetto sul segnale test è $<\delta,varphi> =\varphi(0)$

Per introdurla "intuitivamente" tipicamente si definisce una funzione $x_n(t)$ come:

$\x_n(t) = \{(1/n" "-n/2<=t<=n/2),(0 " ""altrove" ):}$

Ad esempio proviamo a scegliere $n=4$, ti viene fuori una "funzione porta" (o rettangolare), la cui area è semplicemente quella del rettangolo di base $4$ e altezza $1/4$, quindi l'integrale di $x_n(t)$ su $RR$ è sempre 1, per qualsiasi n.

Più $n$ è piccola, più la base del rettangolo sarà piccola e più la sua altezza sarà grande, ma l'area è sempre 1.

Ora guardiamo il limite di $x_n(t)$ per $nrarr0$.



Essenzialmente, al limite ti ritrovi con un rettangolo di base infinitesima ed altezza che tende ad infinito, di "area 1".

Fai attenzione, questa è solo una giustificazione intuitiva, è non vuole assolutamente essere una dimostrazione. Anzi, ti sconsiglio di utilizzare la Delta di Dirac come una normale funzione, perchè non lo è. Potresti essere tentato di andare avanti con i conti e scrivere:

$\delta(t) = lim_{n->0} \x_n(t) = \{(+oo" "t = 0),(0 " ""altrove" ):}$

Questa rappresentazione, che si trova su molti libri di testo (applicativi), nonostante restituisca una comprensione immediata, è sbagliata, perchè non ha senso definire puntualmente la delta (perchè è una distribuzione), e solitamente conduce ad errori quando utilizzata con troppa "leggerezza"