Ciao chiaramc !
Provo a risponderti io, ma prendi con le pinze ciò che dico.
Innanzitutto non ho proprio capito i tuoi calcoli. Cosa hai fatto e perché ?
Seconda cosa: per poter invertire una funzione condizione necessaria e sufficiente è che sia biettiva e questa lo è, come hai giustamente detto tu, pertanto possiamo procedere (in caso una funzione fosse solo iniettiva, ma non suriettiva, potremmo comunque restringere il suo codominio alla sua immagine e "renderla" biettiva, ma questo esula dai nostri scopi ora).
Adesso, per trovare l'inversa, basta andare a risolvere l'equazione iniziale ed esplicitare la $x$:
$f(x)=y=2x+1->2x=y-1->x=(y-1)/2->x=y/2-1/2$ e questa è la funzione inversa di quella data che possiamo scrivere anche come $x=f^-1(y)=y/2-1/2$. A questo punto, spesso si "scambiano" le $x$ con le $y$ e si va a scrivere la funzione trovata come $y=x/2-1/2$, ma quest'ultima parte credo ti interessi poco al momento.
Spero di essere stato chiaro e di non aver detto fesserie.
Se ti resta qualche dubbio chiedi pure.
Saluti
P.S. mentre rispondevo ho visto che Bokonon aveva già risposto