Continuità/derivabilità funzioni di due variabili

[AndretopC0707]

Tornando sull’argomento, come è possibile che la funzione sia derivabile in y=0?

[gugo82]

Tornando sulla mia risposta precedente: basta fare i calcoli.

[AndretopC0707]

Ma a me risultano entrami infiniti:
Se faccio limite per h che tende a 0 di $((alpha +h)/0)/h$ risulta che il limite non esiste.
Perché 0?

[AndretopC0707]

E il secondo sarebbe $(alpha)^2/h^2 $ ed è +infinito.

[gugo82]

Anzitutto, dire "la funzione è derivabile in $y=0$" non ha alcun senso perché $y=0$ non è né un punto né un insieme con interno non vuoto.
Inoltre, "derivabile" rispetto a quale variabile? Una sola? Entrambe?
Quindi, nuovamente, "dici bene".

Poi, vuoi sapere se, fissato $alpha in RR$, la tua funzione è derivabile in $(alpha, 0)$?
Vai a calcolare i rapporti incrementali.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Hai:

$(f(alpha + h, 0) - f(alpha ,0))/h = 0\ =>\ lim_(h -> 0) (f(alpha + h, 0) - f(alpha ,0))/h = lim_(h -> 0) 0 =0$

ed:

$(f(alpha, k) - f(alpha ,0))/k = \{ (alpha^2/k^2, ", se " alpha !=0), (0,", se " alpha =0):} \ =>\ lim_(k -> 0) (f(alpha, k) - f(alpha ,0))/k \ \{("non esiste" , ", se " alpha!=0), (= 0, ", se " alpha =0):}$

quindi:

• $f$ è derivabile rispetto ad $x$ in tutti i punti $(alpha,0)$ ed hai:
  
  $AA alpha in RR,\ f_x(alpha, 0)=0$;
  
  
• $f$ è derivabile rispetto ad $y$ solo in $(0,0)$ ed ha:
  
  $f_y(0,0)=0$.

Cosa c'era di tanto misterioso in questi calcoletti da non riuscire a farli in autonomia?
Dopotutto, non c'è nemmeno da scomodare Analisi I, la matematica delle superiori bastava ed avanzava... Non c'è nulla di non elementare nei conti che ho fatto.

[AndretopC0707]

Ma io non capisco perché il primo limite faccia 0,
Se ho $(alpha+h)/0$ perché non fa infinito?

[gugo82]

Se ho $(alpha+h)/0$ [...]

No, non hai.

[AndretopC0707]

In che senso?
La funzione è x^2/y se y è 0 ho 0 al denominatore

[gugo82]

Certo, come se fosse possibile "avere $0$ al denominatore"...

Ma hai letto bene il testo?

[AndretopC0707]

Io ho x^2/y