[Teoria dei Segnali] Dubbio su esercizio sull'autocorrelazione

Messaggioda MrChopin » 08/07/2020, 10:31

Ho un esercizio di autocorrelazione su cui ho dei dubbi, devo calcolare l'autocorrelazione di questo segnale:

- $ x(t)=Lambda (t/2-3)Pi (t/2-5/2) rArr x(t)={ ( -2+t/2; 4<=t<=6 ),( 0; al trimenti ):} $

Immagine

a) $ tau+1<=4rArrtau<=3 $ Non si sovrappongono

b) $ 4<=tau+1<=6rArr3<=tau<=5 $ Si sovrappongono

c) $ 4<=tau-1<=6rArr5<=tau<=7 $ Si sovrappongono

d) $ tau-1<=4rArrtau>=7 $ Non si sovrappongono


$ R_(x)tau=int_(-oo)^(-oo) ((t-4)/2)Pi ((t-5)/2)((t-4-tau)/2)Pi ((t-5-tau)/2) dt $


a) $ R_(x_(a))tau=0 $


b) $ R_(x_(b))tau=int_(3)^(tau+1) ((t-4)/2)((t-4-tau)/2) dt =1/4int_(3)^(tau+1) (t-4)(t-4-tau)dt =$

$ = 1/4int_(3)^(tau+1) (t-4)^(2)-tau/4int_(3)^(tau+1)(t-4)dt=1/12[(t-4)^(3)]_(3)^(tau+1)-tau/8[t^(2)]_(3)^(tau+1)+tau[t]_(3)^(tau+1) = $

$ =1/12(tau-3)^(3)+1/12-tau/8(tau+1)^(2)+9/8tau+tau^(2)+tau-3tau =$

$ = 1/12tau^(3)-3/4tau^(2)+9/4tau-9/4+1/12-1/8tau^(3)-1/4tau^(2)-1/8tau+9/8tau+tau^(2)+tau-3tau = $

$ = -1/24tau^(3)+5/4tau+13/6=-1/24(tau^(3)-30tau+52) $



c) $ R_(x_(c))tau=1/4int_(tau-1)^(7) (t-4)(t-4-tau)dt =$

$ = 1/4int_(tau-1)^(7) (t-4)^(2)-tau/4int_(tau-1)^(7) (t-4)dt=1/12[(t-4)^(3)]_(tau-1)^(7)-tau/8[t^(2)]_(tau-1)^(7)+tau[t]_(tau-1)^(7) = $

$ =9/4-1/12(tau-5)^(3)-49/8tau+tau/8(tau-1)^(2)+7tau-tau^(2)+tau =$

$ = 9/4-1/12tau^(3)+5/4tau^(2)-25/4tau+125/12-49/12tau-1/8tau^(3)-1/4tau^(2)+1/8tau+7tau-tau^(2)+tau = $

$ = 1/24tau^(3)-17/4tau+38/3=1/24(tau^(3)-102tau+304) $



d) $ R_(x_(d))tau=0 $


$ R_(x)tau= -1/24(tau^(3)-30tau+52)Pi ((t-7)/2)+1/24(tau^(3)-102tau+304)Pi ((t-5)/2)$

Immagine

E' normale un grafico del genere? E' possibile una autocorrelazione negativa?
MrChopin
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Re: [Teoria dei Segnali] Dubbio su esercizio sull'autocorrelazione

Messaggioda Exodus » 11/07/2020, 11:39

Quante complicazioni...
Allora conviene calcolare la retta che passa nell'origine e poi traslarla:

\(x_{1}\left ( t \right )=\frac{1}{2}t\)

Adesso la stessa ma con un $\tau$ in più :-P:

\(x_{2}\left ( t \right )=\frac{1}{2}\left ( t-\tau \right )\)

Moltiplico:

\(x_{1}\left ( t \right )x_{2}\left ( t \right )=\frac{1}{4}t\left ( t-\tau \right )\)

Adesso svolgo l'integrale:

\(\frac{1}{4}\int_{\tau }^{2}t\left ( t-\tau \right )dt=\frac{1}{24}\tau ^{3}-\frac{1}{2}\tau +\frac{2}{3}\)

Prendo il modulo di $\tau$ e metto le cose al proprio posto (traslazione):

\(R_{xx}=\frac{1}{24}\left | \tau -4 \right |^{3}-\frac{1}{2}\left | \tau -4 \right |+\frac{2}{3}\)

\(2\leq \tau \leq 6\)

:-)
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Re: [Teoria dei Segnali] Dubbio su esercizio sull'autocorrelazione

Messaggioda Sinuous » 12/07/2020, 17:33

Attenzione che l’autocorrelazione di un segnale traslato nel tempo è pari all’autocorrelazione del segnale stesso, e che l’autocorrelazione di un segnale reale è una funzione reale pari, che ha il suo massimo nell’origine (energia del segnale).

https://teoriadeisegnali.it/libro/html/ ... o-6.1.html Para.6.1.4.1
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