Calcolo coefficienti di Fourier

Messaggioda mt0792 » 12/07/2020, 04:22

Salve a tutti, sono nuovo e felice di far parte di questa community. Mi viene richiesto quanto segue :



Immagine

Ora io dovrei, ad esempio per quanto riguarda il coefficiente a_n, applicare la seguente formula :

$ a_n= int_-pi^pi cos(nx)/sqrtpi * e^{i x/2} dx $

Il punto è che non so bene come trattare questo integrale complesso. Dovrei usare qualche tecnica correlata al calcolo di residui? Vorrei semplicemente uno spunto su come procedere e ringrazio in anticipo chiunque dedicherà del tempo per aiutarmi.
mt0792
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 1 di 6
Iscritto il: 12/07/2020, 04:08

Re: Calcolo coefficienti di Fourier

Messaggioda pilloeffe » 12/07/2020, 23:11

Ciao mt0792,

Benvenuto sul forum!

Beh, tieni presente che $e^{i x/2} = cos(x/2) + i sin(x/2) $, quindi... :wink:
Mi risulta che si ha:

$a_n = \int_-pi^pi cos(nx)/(sqrt{\pi}) e^{i x/2} \text{d}x = 1/sqrt{\pi} \int_-pi^pi cos(nx)/(sqrt{\pi}) e^{i x/2} \text{d}x = 4/sqrt{\pi} \cdot (cos(n\pi))/(1 - 4 n^2) = 4/sqrt{\pi} \cdot ((-1)^n)/(1 - 4 n^2) $
pilloeffe
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 3906 di 10549
Iscritto il: 07/02/2017, 15:45
Località: La Maddalena - Modena

Re: Calcolo coefficienti di Fourier

Messaggioda gugo82 » 13/07/2020, 00:49

Scusate, ma la base è quella indicata dalla traccia, quindi cosa c'entrano i coseni?

Visto che la base $\{e_k(x)\}_(k in ZZ)$ è ortonormale rispetto al prodotto scalare complesso:

$\langle f,g \rangle := int_(-pi)^pi f(x) * bar(g)(x) text ( d) x$

si tratta di calcolare:

$c_k := int_(-pi)^(pi) g(x)*bar (e_k)(x) text( d) x = 1/sqrt(2 pi) * int_(-pi)^pi e^(i (1/2-k)x) text( d) x$

che si svolge come già si insegna in Analisi I (e alle superiori).

Inoltre:

Moderatore: gugo82

@ mt0792: Al primo post passi, ma ti chiedo gentilmente di evitare di inserire il testo di un esercizio mediante immagine. Il motivo è semplice: dopo qualche tempo, i siti di hosting cancellano i dati ed i thread risultano acefali ed illeggibili alla lunga.

I tool messi a disposizione per inserire formule sono molto semplici, quindi cerca di imparare ad usarli.
Grazie.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 24355 di 44916
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: Calcolo coefficienti di Fourier

Messaggioda pilloeffe » 13/07/2020, 07:18

Nell'ottica di ottemperare a quanto richiesto dal moderatore modificando opportunamente l'OP eliminando la foto, ma tenendo anche conto che si tratta pur sempre del tuo primo messaggio, per questa volta ti scrivo io il testo come avresti dovuto scriverlo:

Nello spazio di Hilbert $H = L^2(-\pi, \pi) $ si consideri la funzione

$ g(x) = e^{i \frac{x}{2}} $

Si scriva lo sviluppo in serie di Fourier di $g(x) $ nella base delle funzioni

$e_k(x) = \frac{e^{ikx}}{sqrt{2\pi}} $

discutendone le proprietà di convergenza. Si scriva infine la corrispondente identità di Parseval.

Codice:
Nello spazio di Hilbert $H = L^2(-\pi, \pi) $ si consideri la funzione

$ g(x) = e^{i \frac{x}{2}} $

Si scriva lo sviluppo in serie di Fourier  di $g(x) $ nella base delle funzioni

$e_k(x) = \frac{e^{ikx}}{sqrt{2\pi}} $

discutendone le proprietà di convergenza. Si scriva infine la corrispondente identità di Parseval.
pilloeffe
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 3908 di 10549
Iscritto il: 07/02/2017, 15:45
Località: La Maddalena - Modena

Re: Calcolo coefficienti di Fourier

Messaggioda mt0792 » 18/09/2020, 17:03

. Grazie a tutti per i chiarimenti. Ho postato un quesito simile ieri ( senza immagine, seguendo le regole del Forum) eppure non è stato ancora pubblicato. Chiedo, gentilmente, delucidazioni in merito agli amministratori del forum, non potendoli contattare direttamente per messaggio privato ( mi viene detto che è necessaria una partecipazione più attiva per usufruire di questo servizio ed, essendo io registrato di poco, sono impossibilitato ad usarla).
mt0792
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 3 di 6
Iscritto il: 12/07/2020, 04:08


Torna a Analisi superiore

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite