Trasformata di Fourier

[lucat]

Ciao a tutti, vi scrivo per un aiuto su una Trasformata di Fourier. Devo calcolare la trasformata di Fourier di $ f(x)=1/(x^2-2x+2) $ e credo sia uguale a $ pie^(i(1+i)|omega | $ (spero sia corretta, se così non fosse vi prego di segnalarmelo). Adesso mi viene chiesto di calcolare il seguente integrale $ int_(-prop )^(+prop ) e^(-|x|) cosx dx $ a partire dalla trasformata. So come si fanno esercizi di questo tipo e in altri casi ci sono riuscito ma proprio non riesco a calcolare questo integrale. Potreste aiutarmi? Grazie mille

[axpgn]

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La trasformata di Fourier si studia nelle Superiori adesso?

[pilloeffe]

Ciao lucat,

Immagino tu faccia uso della definizione di trasformata $F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-i\omega x}\text{d}x $, per cui osservando che $f(x) = 1/(x^2-2x+2) = 1/((x - 1)^2 + 1) $ si ha:

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} 1/((x - 1)^2 + 1) e^{-i\omega x}\text{d}x $

Posto $t := x - 1 \implies x = t + 1 $ si ha:

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} 1/((x - 1)^2 + 1) e^{-i\omega x}\text{d}x = e^{-i\omega} \int_{-\infty}^{+\infty} 1/(t^2 + 1^2) e^{-i\omega t}\text{d}t = \pi e^{-i\omega} e^{- |\omega|}$

[lucat]

Ciao lucat,

Immagino tu faccia uso della definizione di trasformata $F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-i\omega x}\text{d}x $, per cui osservando che $f(x) = 1/(x^2-2x+2) = 1/((x - 1)^2 + 1) $ si ha:

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} 1/((x - 1)^2 + 1) e^{-i\omega x}\text{d}x $

Posto $t := x - 1 \implies x = t + 1 $ si ha:

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} 1/((x - 1)^2 + 1) e^{-i\omega x}\text{d}x = e^{-i\omega} \int_{-\infty}^{+\infty} 1/(t^2 + 1^2) e^{-i\omega t}\text{d}t = \pi e^{-i\omega} e^{- |\omega|}$

Grazie per la risposta. Ho provato a controllare la trasformata con Wolfram e mi esce un risultato simile al mio (c'è solo una radice di pi/2 al posto del mio pigreco che nasce credo da un'altra definizione utilizzata, poi il resto è uguale) e un pò diverso dal tuo (forse ho sbagliato ad interpretare il risultato di Wolfram, perché mi fido ciecamente di voi). Ora ve lo allego. Qualcuno saprebbe dirmi quale risultato è corretto? E se potete come risolvere l'integrale che ho proposto nel primo messaggio? Vi ringrazio

[Mephlip]

Su Wolfram dovresti avere, a destra di "Result", un menù che ti permette di scegliere la normalizzazione e il fattore di oscillazione; scegliendo tramite quello la convenzione che usi tu per la trasformata, puoi verificare il tuo risultato.

[pilloeffe]

Attenzione perché dall'immagine che hai riportato WoframAlpha usa un'altra definizione di trasformata di Fourier, quindi la domanda è: quale definizione di trasformata di Fourier stai usando?

[lucat]

Su Wolfram dovresti avere, a destra di "Result", un menù che ti permette di scegliere la normalizzazione e il fattore di oscillazione; scegliendo tramite quello la convenzione che usi tu per la trasformata, puoi verificare il tuo risultato.

Non sapevo di poter fare questa cosa, non finirò mai di ringraziarvi per la disponibilità

[lucat]

Attenzione perché dall'immagine che hai riportato WoframAlpha usa un'altra definizione di trasformata di Fourier, quindi la domanda è: quale definizione di trasformata di Fourier stai usando?

La definizione è quella da te utilizzata. Su Wolfram la riporta così (se non ho sbagliato qualcosa), è corretto?

[pilloeffe]

Sì perché coincide con quella che ti ho scritto essendo la funzione $\theta(\omega) $ la funzione gradino di Heaviside. Per convincertene analizza separatamente i due casi $\omega >= 0$ e $\omega < 0 $

[lucat]

Sì perché coincide con quella che ti ho scritto essendo la funzione $\theta(\omega) $ la funzione gradino di Heaviside. Per convincertene analizza separatamente i due casi $\omega >= 0$ e $\omega < 0 $

Okay, ora ho capito, grazie. Potresti darmi qualche indicazione su come risolvere l'integrale di partenza?