Determinare un isomorfismo

[maria372]

Salve a tutti! Ho bisogno nuovamente del vostro aiuto sullo svolgimento di una richiesta di un esercizio:
Si consideri nello spazio vettoriale $\RR^4$
il sottospazio vettoriale $\U$ generato dai
vettori $\u = (1, 1, 0, 1), v = (−1, 0, 0, −1)$ e$\w = (0, 2, 0, 0)$.
Sia $\V$ il sottospazio
vettoriale di equazione:
$\{(x+t=0),(y+t=0):}$
1. Stabilire se i vettori $\u, v$ e $\w$ sono linearmente indipendenti.
2. Calcolare la dimensione di $\U$ e $\V$ e trovarne una base.
3. Detta $\k$ la dimensione di $\V$ , definire un isomorfismo di $\V$ in $\RR^k$
4. Verificare che la somma di $\U$ e $\V$ é diretta e calcolare $\U ⊕ V$.
Tra questi non riesco a svolgere il punto 3, non ho idea di come determinare questo isomorfismo. Scusatemi per il disturbo e vi ringrazio in anticipo!

[gugo82]

Il punto 3 è quello più banale.
Se conosci una base di $V$, e la conosci, basta passare alle coordinate.

[maria372]

Non ho capito molto bene Come faccio a passare alle coordinate?scusatemi per il disturbo

[gugo82]

C’è un teorema che è fondamentale:

Se $mathbb(V)$ è uno spazio vettoriale su campo $mathbb(K)$ di dimensione $k$ e $B sube mathbb(V)$ è una base, l’applicazione $c_B: mathbb(V) -> mathbb(K)^k$ (che ad ogni vettore di $mathbb(V)$ associa le sue coordinate rispetto alla base $B$) è un isomorfismo.

Usalo.

[maria372]

Perfetto! Infatti ho ricordato questo teorema e lei mi ha dato la conferma che è quello giusto! Il problema è che lo conosco solo teoricamente e non riesco ad utilizzarlo in un esercizio.
Mi sono ricavata una base per V e credo sia questa
$\B(V)={(-1,-1,0,1),(0,0,1,0)}$(è corretta?)
Considerando il teorema ottengo:
$\F(x(-1,-1,0,1)+y(0,0,1,0))=(x,y)$
È giusto fare così o ho scritto qualcosa di senza senso?
Vorrei chiedere un'ultima cosa e poi non vi disturbo più l'ultima domanda chiede di calcolare calcolare $\U ⊕ V$ ma non ho capito molto cosa intende...cosa posso fare per calcolarmelo?
Vi ringrazio per le risposte e mi scuso ancora per disturbo!

[Bokonon]

Vorrei chiedere un'ultima cosa e poi non vi disturbo più l'ultima domanda chiede di calcolare calcolare $\U ⊕ V$ ma non ho capito molto cosa intende...cosa posso fare per calcolarmelo?

Usa la formula di Grassman: $dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(UnnV)$
Se la dimensione dell'intersezione è zero, allora i due spazi vettoriali sono in somma diretta.

[maria372]

Quindi se utilizzando Grassman trovo che la somma è diretta, ho finito? Non devo fare nient'altro?

[maria372]

Mentre per il terzo punto, è corretto quello che ho scritto oppure ho scritto una sciocchezza?

[gugo82]

Perfetto! Infatti ho ricordato questo teorema e lei mi ha dato la conferma che è quello giusto! Il problema è che lo conosco solo teoricamente e non riesco ad utilizzarlo in un esercizio.
Mi sono ricavata una base per V e credo sia questa
$\B(V)={(-1,-1,0,1),(0,0,1,0)}$(è corretta?)
Considerando il teorema ottengo:
$\F(x(-1,-1,0,1)+y(0,0,1,0))=(x,y)$
È giusto fare così o ho scritto qualcosa di senza senso?

Tutto giusto.

[marco2132k]

Cosa vuol dire calcolare \(U\oplus W\)?

L’\oplus, per come lo sta intendendo l’estensore del tuo esercizio, ha senso solo di fronte all’uguale (\(V=U\oplus W\)), e significa “ogni vettore di \(V\) è somma \(w+u\) per qualche \(w\in W\) e \(u\in U\), e in più è \(U\cap W = 0 \)”.

In realtà, puoi definire la somma diretta esterna (corsivo, sono da cellulare ed è fatica...) \(U\oplus^{\mathrm{ext}}W\) come il prodotto \(U\times W\) dei tuoi sottospazi, visti come spazi vettoriali. Allora, se V è loro somma diretta “interna” (i.e., vale quello che ho scritto su), è \(V\cong U\oplus^{\mathrm{ext}}W\).

Questo è più figo da vedere quando hai a che fare con tanti (sotto)spazi, ma credo che tu possa ignorare la cosa ora.