Potresti fare così(l'unica cosa che mi è venuta in mente a st'ora)
essendoci quel termine $1/e^(n^2)$ può saltare in mente di vedere se(e quando) vale
$((2n+1)!)/(n e^(n^2)) <= 1/e^n <=> ((2n+1)!)/(n e^(n^2-n))<=1$
per prima cosa si dimostra che la successione $a_n=((2n+1)!)/(n e^(n^2-n))$ è decrescente definitivamente
ora $a_(n+1) <= a_n <=> ((2n+1)!)/(n e^(n^2-n))>= ((2n+3)!)/((n+1) e^(n^2+n)) <=> ((2n+1)!)/(n e^(n^2-n)) >= ((2n+3)(2n+2)(2n+1)!)/((n+1)e^(n^2+n))$
da cui si ottiene
$a_(n+1) <= a_n <=> 1/(n e^(-n)) >= (2(2n+3))/e^n <=> e^(2n)-4n^2-6n >= 0$
puoi dimostrare, anche passando alla "funzione associata", che l'ultima disuguaglianza è vera già per $x>=1$
ora per $n=4$(per esempio) puoi notare che $a_4 <1$ e quindi per $n>=4$ resta minore di $1$
da questo ottieni che per $n>=4$ la disuguaglianza $((2n+1)!)/(n e^(n^2)) <=1/e^n$ è vera
per concludere il tuo esercizio basta considerare che $sum_(n=k)^(+infty)((2n+1)!)/(n e^(n^2))<=sum_(n=k)^(+infty)1/e^n$ con $k>=4$ e calcolare per quale $k$ il resto di destra è minore di $1/200$
