Come potrei dimostrare formalmente?

[saltimbanca]

Ciao a tutti, mi è venuto un dubbio..

mi piacerebbe capire come formalizzare che se ho due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ t.c $f(x)*g(x)=h(x)$ sono una costante, allora $inth(x)dx=h(x)x+c$

Il fatto che io ammetta che h(x) è una costante dovrebbe già bastare senza ulteriori ipotesi su f(x) e g(x)? E poi formalmente come dovrei esporlo?

[gugo82]

Usa $k$ al posto di $h(x)$.

[saltimbanca]

Grazie non so perché ma temevo ci volessero ipotesi su f e g

[gugo82]

Dipende da che stai facendo, ma in generale no.

[saltimbanca]

Dipende da che stai facendo

Se hai voglia posso chiederti un esempio? Cioè un caso che non vale nel "generale" di cui parli.

In realtà non stavo facendo nulla ma mi sono accorta che dovevo integrare $pV^2=cost$ in $dV$ (termodinamica) e mi ero chiesta se formalmente $(pV^2)V$

[gugo82]

Il "dipende" era dettato dal fatto che le due funzioni potrebbero non avere significato "fisico" se troppo irregolari.

Nel tuo caso, immagino che il calcolo sua una cosa del tipo "lavoro di volume scambiato durante una trasformazione adiabatica", i.e.:

$int_(V_1)^(V_2) pV^2 text( d) V$;

è chiaro che se il prodotto $pV^2$ è costante allora quell'integrale lì è una quantità proporzionale a $Delta V$.

[saltimbanca]

Esattamente una cosa del genere, poi volevo capire in generale in casi fuori dalla fisica e se le ipotesi dovessero essere più restrittive per una integrazione e mostrarlo formalmente. Era nata così la domanda: cioè se nella moltiplicazione di due funzioni che potessero rimanere anche costanti nel prodotto succedesse che però ne uscisse una non integrabile (ma non mi ero trovata controesempi in cui accadesse, per quello ero curiosa sul "in generale no"). Mi sembra di capire che vi siano però, perché parli appunto di irregolari, però devo pensarci perché non mi sono venuti in mente. Grazie ancora gugo82

[gugo82]

Se due funzioni sono integrabili, pure il loro prodotto lo è.
Se due funzioni non sono integrabili (una o entrambe), può succedere di tutto… Ad esempio, prendi la funzione $d$ di Dirichlet e considera $f(x) = 1+d(x)$ e $g(x) = 2-d(x)$, che non sono integrabili in nessun intervallo compatto (altrimenti risulterebbe integrabile $d$, cosa che non è), ma il loro prodotto è la funzione costante $f(x)*g(x) = 2$, che è integrabilissima.

Insomma, $f text( e ) g text( integrabili) => f*g text( integrabile)$ ma $f*g text( integrabile) cancel(=>) f text( integrabile o ) g text( integrabile)$.

[saltimbanca]

Sì questo mi torna abbastanza, mi scuso perché forse data la domanda piuttosto sempliciotta non mi sono fatta capire, la mia domanda era piuttosto:
- avendo f e g non integrabili e prodotto costante è per forza integrabile il prodotto?
- avendo f e g qualsiasi (che possano anche non ammettere primitiva) se il loro prodotto è costante la primitiva esiste per forza?

[gugo82]

Sì a tutte e due le domande.