Determinare un isomorfismo

[maria372]

Grazie per la vostra disponibilità e per il vostro aiuto!
Tuttavia il mio professore non ha mai menzionato la somma diretta esterna ed interna quindi non ho capito molto questa spiegazione

Cosa vuol dire calcolare \( U\oplus W \)?

L’\oplus, per come lo sta intendendo l’estensore del tuo esercizio, ha senso solo di fronte all’uguale (\( V=U\oplus W \)), e significa “ogni vettore di \( V \) è somma \( w+u \) per qualche \( w\in W \) e \( u\in U \), e in più è \( U\cap W = 0 \)”.

In realtà, puoi definire la somma diretta esterna (corsivo, sono da cellulare ed è fatica...) \( U\oplus^{\mathrm{ext}}W \) come il prodotto \( U\times W \) dei tuoi sottospazi, visti come spazi vettoriali. Allora, se V è loro somma diretta “interna” (i.e., vale quello che ho scritto su), è \( V\cong U\oplus^{\mathrm{ext}}W \).

Questo è più figo da vedere quando hai a che fare con tanti (sotto)spazi, ma credo che tu possa ignorare la cosa ora.

[marco2132k]

Ma non importa. Il punto è che (nelle notazioni del tuo esercizio) "calcolare \( U\oplus V \)" non significa nulla di per se, e magari è questo che ti ha fatto confusione. Molto molto probabilmente il tuo prof. intendeva una cosa tipo "poni \( L = U + V = \left\{u + w : \text{$ u\in U $ e $ w\in W $}\right\} \), trova una base per il sottospazio \( L\subset\mathbb R^4 \), e infine dì se \( L = U\oplus W \)".

[maria372]

Grazie mille! Adesso mi è chiara la richiesta dell'esercizio