Matrice applicazione lineare

[AndretopC0707]

Se considero un’applicazione lineare da $RR^n $ in $RR^m$, la matrice associata ad essa, $f(x)=Ax$ è la matrice le cui colonne sono date dalle immagini dei vettori della base di $RR^n$ scritti rispetto alla base di $RR^m$?
È corretto?
Grazie

[gugo82]

Sì.
Te l'ho scritto anche qui...

[AndretopC0707]

Grazie mille

[AndretopC0707]

Sì.
Te l'ho scritto anche qui...

Quello non era la matrice del cambiamento di base?

[gugo82]

Levami una curiosità: ma le leggi con attenzione le risposte, o guardi solo le parole che ti interessano?

Cito da un avviso che dovresti aver imparato a memoria:

Infine [...] riflettete bene su ciò che vi è stato risposto prima di tornare a postare.

e dal mio post segnalato più su:

Rappresentare i vettori "astratti" di $mathbb(V)$ come vettori numerici di $mathbb(K)^n$ ti consente anche di rappresentare le applicazioni di $mathbb(V)$ in sé mediante numeri.
In particolare, scegli un'applicazione lineare $f: mathbb(V) -> mathbb(V)$. Fissate le basi $B$ (nel dominio) e $B^\prime$ (nel codominio) esiste un'unica applicazione lineare $phi: mathbb(K)^n -> mathbb(K)^n$ tale che:

$c_(B^\prime) (f(mathbf(v))) = phi (c_B(mathbf(v)))$;¹

per un noto teorema, esiste un'unica matrice quadrata $F=(f_(i,j)) in M_(n xx n)(mathbb(K))$ tale che:

$AA x in mathbb(K)^n,\ phi (x) = F * x^t$,

quindi la precedente si riscrive:

$c_(B^\prime) (f(mathbf(v))) = F * c_B^t (mathbf(v))$

e si dice che $F$ rappresenta la funzione $f$ rispetto alle basi $B$ (nel dominio) e $B^\prime$ (nel codominio).²

Secondo te la nota 2 cosa significa?
Il procedimento esposto vale solo per i cambiamenti di base?

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Note

1. Se vuoi sapere chi è $phi$ basta calcolarlo esplicitamente sfruttando un diagramma; in particolare trovi $phi(x) := c_(B^\prime)(f(c_B^(-1) (x)))$. ↑
2. Questo discorso, pari pari, uguale, si ripete nella situazione generale, cioè per applicazioni lineari $ f: mathbb(V) -> mathbb(W)$ in cui $dim mathbb(V) =n$ e $dim mathbb(W) = m$. In tal caso, ovviamente, scelte una base $B$ nel dominio ed una base $B^\prime$ nel codominio, la $f$ è rappresentata da una matrice $F in M_(m xx n)(mathbb(K))$ che ha per colonne le coordinate rispetto alla base del codominio delle immagini dei vettori della base del dominio. ↑