Lavoro campo vettoriale

[AndretopC0707]

Nel piano cartesiano, la parabola di equazione y=5x^2 e la retta di equazione y = 5x si intersecano nell’origine O e in un secondo punto P . Una particella parte dall’origine e si muove lungo la parabola fino al punto P, poi ritorna all’origine percorrendo la retta da P a O. Trovare il lavoro fatto sulla particella dal campo di forze
$F=(x^2e^(x6)-y^3,x^3+ye^(y6))$
Io ho pensato di parametrizzare la parabola come $(t,5t^2)$ con t che varia tra 0 e 1 e la retta come $(t,5t)$, t varia tra 0 e 1 e fare gli integrali di linea, in cui quello lungo la retta è col segno meno, perché percorso in verso opposto.
È corretto?
Potreste aiutarmi .
Grazie

[gugo82]

Sì, ok.

Ma prima controlla se puoi semplificarti il lavoro... Non è, per caso, che il campo è conservativo? O che ha una componente conservativa?

[AndretopC0707]

Ok grazie, avevo pensato di provare a verificare se fosse o meno conservativo, ma non risulta irrotazionale

[gugo82]

In parte sì e se lo noti, l'esercizio lo risolvi; altrimenti no.

[AndretopC0707]

Dovrei considerare il campo su 5x^2 e 5x e vedere se è conservativo?

[gugo82]

Dovrei considerare il campo su 5x^2 e 5x e vedere se è conservativo?

Qual è la definizione di campo conservativo?
Alla luce della definizione, ti sembra che quanto hai scritto abbia un minimo di senso?

[AndretopC0707]

Conservativo se esiste una funzione U tale che gradiente di U sia uguale a F.
Ma il campo risulta irrotazionale quindi non conservativo.
O sbaglio?

Dovrei considerare il campo su 5x^2 e 5x e vedere se è conservativo?

Qual è la definizione di campo conservativo?
Alla luce della definizione, ti sembra che quanto hai scritto abbia un minimo di senso?

Pensavo di provare a restringermi al piano in cui si trovano 5x e 5x^2, ma a me risulta comunque non conservativo

[gugo82]

Già meglio.
Dire che un campo è conservativo su una curva non ha alcun senso. Perché?

Ciò chiesto, osserva che nel tuo caso puoi scrivere $mathbf(F) = mathbf(F)_c + mathbf(F)_(nc)$, ossia puoi scomporre il campo assegnato $mathbf(F)$ nella somma di una componente conservativa, $mathbf(F)_c$, ed una non conservativa, $mathbf(F)_(nc)$.
Ciò ti aiuta nel calcolo: come? Perché?

[AndretopC0707]

Ok grazie, quindi posso considerare $F_c$ come $(x^2 e^((x)^6) , y e^((y)^6))$ e trovarne un potenziale da usare per il calcolo del lavoro e poi calcolare il lavoro di $F_nc$ con l’integrale curvilineo e sommare?

[gugo82]

Di $mathbf(F)_c$ non ti serve conoscere nulla più del fatto che è conservativo. Perché?


P.S.: Ma rispondere alle domande non si usa più?
È un ottimo esercizio per l'esame, visto che fare i conti senza motivare i passaggi è un po' riduttivo.