numeri complessi e spirale

[lasy]

mi aiutate, per favore, a interpretare questo problema? https://ibb.co/L57MFhr

non riesco innanzitutto a capire a quale lato si riferisce il valore $sqrt(2)/2$

[_clockwise]

Dalla figura non si capisce molto bene effettivamente. Ho fatto qualche tentativo, cercando di indovinare a cosa si riferisse quel numero in basso, aiutandomi con la soluzione riportata in azzurro. Fortunatamente ce l'ho fatta subito risparmiandomi una marea di calcoli e ho scoperto che...

\( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \) è il modulo del numero complesso \( z_0^{-4} \), cioè quello giacente sul semiasse negativo dell'asse immaginario.

Per quanto riguarda l'interpretazione del problema, non è troppo difficile. Ci sono tutti questi vettori che sono potenze intere di un numero complesso \( z_0 \), rappresentato in figura. Come al solito, la lunghezza di tutti questi segmenti orientati è il loro modulo e l'angolo che formano con il semiasse positivo dell'asse reale. La lunghezza di ogni segmento varia, però ciascun quadrante è diviso equamente in quattro parti, il che ti consente di calcolare con facilità l'argomento di \( z_0 \). Combinando opportunamente le informazioni che possiedi su \( z_0 \) e su \( z_0^{-4} \) dovresti riuscire a calcolare il primo. In ogni caso se hai qualche difficoltà chiedi pure!

Questo per quanto concerne la a), invece per la dimostrazione richiesta dalla b) purtroppo non posso assicurarti nulla...

[Pierlu11]

Forse per la b) puoi semplicemente osservare che i punti di un triangolo vengono mandati nei punti del successivo attraverso una similitudine (la moltiplicazione per un numero complesso che nel tuo caso è $z_0$) data da una rotazione composta con un'omotetia... prova a formalizzare tu la questione altrimenti se non riesci provo a mettermici con più attenzione.

[_clockwise]

Forse per la b) puoi semplicemente osservare che i punti di un triangolo vengono mandati nei punti del successivo attraverso una similitudine (la moltiplicazione per un numero complesso che nel tuo caso è z0) data da una rotazione composta con un'omotetia... prova a formalizzare tu la questione altrimenti se non riesci provo a mettermici con più attenzione.

Io mi ci sono messo un attimino con un metodo molto semplice, infatti non so se è lecito. Ho imposto che i triangoli fossero simili mettendo in proporzione i loro lati e ha funzionato... Che sia una vile scappatoia?

[@melia]

Ho imposto che i triangoli fossero simili mettendo in proporzione i loro lati e ha funzionato... Che sia una vile scappatoia?

Non è una scappatoia. Hai preferito sfruttare in prevalenza le proprietà algebriche, si potevano sfruttare in prevalenza le proprietà dei numeri complessi.

[_clockwise]

Come? Anche utilizzando l'espressione dei moduli dei numeri complessi in gioco sono finito a mettere in proporzione i lati (anche in questo caso ovviamente la similitudine è verificata).

[@melia]

Come?

Cosa ho detto? O partivi dai complessi, o dai triangoli, sempre nello stesso posto andavi a parare.

[lasy]

Ho imposto che i triangoli fossero simili mettendo in proporzione i loro lati e ha funzionato... Che sia una vile scappatoia?

Non è una scappatoia. Hai preferito sfruttare in prevalenza le proprietà algebriche, si potevano sfruttare in prevalenza le proprietà dei numeri complessi.

sembra una scappatoia, perchè alla domanda successiva chiede di dimostrare che i triangoli sono simili

[_clockwise]

Scherzavo (ma non troppo) sulla scappatoia! Il problema chiede di dimostrare se i triangoli sono simili, pertanto basta imporre che lo siano mettendo in proporzione i lati. Così facendo ti esce fuori un'equazione che, ce ne si accorge facilmente con qualche calcolo, è sempre verificata, il che dimostra la tesi.
Non so se è questo che hai capito, però NON ho utilizzato in alcun modo l'ipotesi della similitudine fra i triangoli nella risoluzione del primo quesito.