Sulla somma di tre quadrati

[Bianco17]

Qualche tempo fa, sempre girando tra le prove INdAM, trovai un problema abbastanza interessante a cui non riuscii a trovare più di semplici soluzioni banali e quindi lasciai incompleto... Colgo ora l'occasione di proporvelo assieme alla mia parziale soluzione. Il testo dice:
"I tre numeri $30$, $19$, $6$ godono della seguente proprietà, che verrà indicata con (*):
(*) i tre numeri sono tutti distinti e la somma di due qualunque di essi è il quadrato di un intero.
(a) Trovare altri tre numeri con la proprietà (*), non proporzionali ai tre sopra indicati. Trovare poi ulteriori tre numeri interi con la proprietà (*), non proporzionali né a quelli sopra riportati né a quelli appena trovati.
(b) Supponiamo che tre numeri $a$, $b$, $c$ godano della proprietà (*). È possibile che i tre numeri $a+b$, $b+c$, $c+a$ siano tutti dispari? E che siano due pari e uno dispari?
(c) I tre numeri $65$, $56$, $-40$ godono della proprietà (*) e, inoltre, la somma di tutti e tre è anch'essa il quadrato di un intero. Trovare altri tre numeri interi, non proporzionali ai numeri precedenti, che godono della proprietà (*) e tali che la somma di tutti e tre sia il quadrato di un intero. [SARÀ PRIVILEGIATA UNA RISPOSTA CON TRE INTERI POSITIVI.]"

A leggerlo sembrava complesso ma almeno i primi due punti si sono rivelati abbastanza semplici. La mia soluzione parziale la riporto nello spoiler qui sotto

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

I numeri $a$, $b$, $c$ sono soluzione del sistema\begin{cases}a+b=k^2\\b+c=m^2\\c+a=n^2\end{cases} posti \(k,m,n\in\mathbb{N}^*\). Scelti questi tre valori, il sistema ha come soluzione la terna di valori \begin{cases}a=\frac{k^2+n^2-m^2}2\\b=\frac{m^2+k^2-n^2}2\\c=\frac{n^2+m^2-k^2}2\end{cases} Ovviamente non tutti i valori di $k,m,n$ potrebbero essere accettabili: va da sé che se $a,b,c\in\mathbb{Z}$ ci potrebbero essere determinati valori dei tre parametri che rendono l'espressione ottenuta un razionale. Sicuramente, possiamo dire che le somme dei quadrati nei numeratori delle tre espressioni devono essere pari: questo è possibile se e solo se ci sono un numero pari di numeri dispari tra $k,m,n$, considerato che a numero pari corrisponde un quadrato pari e a numero dispari un quadrato dispari. Quindi scelte due terne di valori $(k,m,n)$ che non corrispondano a permutazioni o multipli di $(6,7,5)$, possiamo trovare i valori come richiesti al punto (a).

Ora il difficile viene al punto (c): già sapendo di non poter determinare delle soluzioni precise, ho tentato comunque di aggiungere al sistema che ho imposto per il punto (a) la condizione $a+b+c=\lambda^2$ con \(\lambda\in\mathbb{N}^*\), ricavando velocemente che sussiste $k^2+m^2+n^2=2\lambda^2$. Le soluzioni banali cui mi riferivo all'inizio del post sono le terne pitagoriche del tipo $(k,m;n)$ ovvero quelle terne che soddisfano $k^2+m^2=n^2$ (ovviamente a meno di scambiare le incognite) che però rendono uno tra $a,b,c$ (nel nostro esempio, $b$) nullo. Se volessi puntare in basso, mi accontenterei delle terne pitagoriche, ma poiché voglio cercare soluzioni intere POSITIVE ho tentato di ragionare su queste informazioni senza però avere successo. Perciò vi chiedo: avete qualche idea che possa risolvere o perlomeno illuminare la strada verso la soluzione di questo problema?

[hydro]

Probabilmente esiste una soluzione più elegante, ma con un po' di hand-waving si può fare così: wlog puoi assumere che $n$ sia pari e $k,m$ dispari. Poni $n=2n'$ e riscrivi come $k^2+m^2=2(\lambda^2-2n'^2)$. Adesso cerchiamo una soluzione "facile": poniamo $k=m$ ed otteniamo $k^2=\lambda^2-2n'^2$. La condizione $a,b,c>0$ si traduce in $k^2>2n'^2$ e $n'>0$. Da qui si possono fare dei tentativi semplici, perchè rhs è la norma di un elemento di $\mathbb Z[\sqrt{2}]$. Il più piccolo $k$ dispari e $>1$ per cui esiste un elemento di norma $k$ è $7$, ed un elemento di norma $7$ è $\alpha=3+\sqrt{2}$. Il quadrato di $\alpha$ ha norma 49 ma non soddisfa la condizione su $k,n'$, moltiplicando però $\alpha$ per un elmento di norma $-1$, ovvero $1-\sqrt{2}$ ed elevando al quadrato trovi che $9+4\sqrt{2}$ ha norma $49$ e funziona, i.e. $k=7$ ed $n=8$ è una soluzione, che ti porta a $a=17$ e $b=c=32$.

[Bianco17]

L'idea di porre uguali i due valori dispari mi piace molto, considerato che nel problema non c'è alcun tipo di restrizione su come trovare gli interi positivi è un ottimo modo per ridurre le variabili in gioco. D'altronde, devo ammettere di non aver compreso il modo con cui riesci a trovare quei valori, cioè da

Il più piccolo $ k $ dispari e $ >1 $ per cui esiste un elemento di norma $ k $ è $ 7 $, ed un elemento di norma $ 7 $ è $ \alpha=3+\sqrt{2} $. Il quadrato di $ \alpha $ ha norma 49 ma non soddisfa la condizione su $ k,n' $, moltiplicando però $ \alpha $ per un elmento di norma $ -1 $, ovvero $ 1-\sqrt{2} $ ed elevando al quadrato trovi che $ 9+4\sqrt{2} $ ha norma $ 49 $ e funziona, i.e. $ k=7 $ ed $ n=8 $ è una soluzione, che ti porta a $ a=17 $ e $ b=c=32 $.

ed in particolare la prima riga, oltre al moltiplicare per elementi di norma $-1$... Ultimissima curiosità: dichiaro di essere ancora inesperto in Algebra ma credo (e correggetemi se dico castronerie) che l'anello da considerare sia $\ZZ[\sqrt{-2}]$ cosicché da avere elementi \(a+\sqrt{-2}b\) con norma \(a^2-2b^2\), come nel nostro caso. Non so quanto ciò possa essere rilevante per il resto del problema ma non riuscivo a spiegarmi il perché di una norma del genere per $\ZZ[\sqrt 2]$.

EDIT: Rileggendo bene la traccia, la proprietà (*) vuole $a\ne b\ne c$ e col metodo che hai trovato generiamo sempre almeno due valori uguali tra i tre cercati...

[hydro]

Sì hai ragione, non avevo letto che $a,b,c$ dovessero essere distinti. L'anello giusto è $\mathbb Z[\sqrt{2}]$ e non $\mathbb Z[\sqrt{-2}]$, perchè la norma di $a+b\sqrt{2}$ è $a^2-2b^2$ mentre la norma di $a+b\sqrt{-2}$ è $a^2+2b^2$. La norma di un elemento è il prodotto dell'elemento per il suo coniugato di Galois, che nel caso di $\sqrt{-2}$ è il suo coniugato complesso. Sono stato decisamente sbrigativo nelle spiegazioni, ma il punto è che la norma di cui sopra è moltiplicativa e in $\mathbb Z[\sqrt{2}]$ esistono infiniti elementi di norma $\pm1$: sono tutti quelli della forma $\pm (1+\sqrt{2})^n$, con $n\in \mathbb Z$. Siccome la norma è moltiplicativa, una volta che hai un $\alpha$ di norma $k$, quando lo moltiplichi per qualcosa di norma $1$ trovi un altro elemento di norma $k$. Meglio?

[Bianco17]

La questione di Algebra, per quanto mi è possibile, mi è chiara ma non abbastanza da capire l'inizio del tuo ragionamento... Perché scegli $7$ come norma da cui partire coi tentativi e non un numero più piccolo...? Poi, se volessimo trovare valori completamente distinti di $a,b,c$ come si potrebbe fare?