Dominio con Valore assoluto

[Pemberton!]

Buongiorno a tutti

Credo di aver sbagliato qualcosa in questo esercizio ma non ne sono sicuro..

$log(|(2e^x-4)/(e^x-3)|-2/3)$

Ho impostato il sistema per risolvere il dominio considerando l'argomento del logaritmo maggiore di zero e che il denominatore del valore assoluto non si annullasse così

1)$|(2e^x-4)/(e^x-3)|>2/3$

2)$e^x-3 ne 0$ che si risolve velocemente come $rightarrow x ne ln(3)$

Per quanto riguarda il punto uno, ho seguito il metodo di risoluzione classico per le disequazioni con modulo con questo sistema, per poi andare ad intersecare i risultati:

1a) $(2e^x-4)/(e^x-3) > 2/3$
1b) $(2e^x-4)/(e^x-3) < -2/3$

1a) ho portato $2/3$ al primo membro, ho fatto il mcm e risolto la disequazione fratta così

$(4e^x-6)/(3e^x-9)>0$ da cui ottengo $x<ln(3/2) V x>ln(3)$

1b) Stesso ragionamento

$(8e^x-18)/(3e^x-9)<0$ da cui ottengo $ln(9/4)<x<ln(3)$

se vado ad intersecare i seguenti , l'intersezione è uguale all'insieme vuoto, di conseguenza tale sistema è impossibile.

Rimango dunque con l'unica condizione che il denominatore non deve annullarsi.

$x ne ln(3)$

E' corretto? ho la sensazione che sto sbagliando qualcosa....

[axpgn]

Io, per metodo classico, intendo quello che usa la definizione di valore assoluto; sarà più lungo ma più sicuro.
Difatti tu hai intersecato due situazioni evidentemente incompatibili.
Come può lo stesso numero essere sia positivo che negativo?

Cordialmente, Alex

[Pemberton!]

So che se mi trovo un caso del tipo

$|A(x)|>k$

e se k>0, allora la disequazione è equivalente a

$A(x)<-k$ V $A(x)>k$

e non perchè k è sia positivo che negativo, ma perchè una volta considero il modulo positivo e una volta negativo, per questo nella prima condizione il verso è cambiato di segno e il segno - lo ha k.

Per definizione di valore assoluto che intendi?

Puoi farmi vedere come si fa, o almeno come impostare la disequazione?

[axpgn]

Al di là del metodo, il problema è che non hai capito quanto ho detto ...

Come può lo stesso numero essere sia positivo che negativo?

Ovvero come fa $(2e^x-4)/(e^x-3)$ ad essere sia positivo che negativo per gli stessi valori della $x$?
È quello che hai fatto intersecando le soluzioni invece che "unendole" ...

La definizione della funzione valore assoluto è $|f(x)| = {(x\text( se )x>=0),(-x\text( se )x<0):}$ , quindi nel tuo caso avremo $|(2e^x-4)/(e^x-3)| = {((2e^x-4)/(e^x-3)\text( se )(2e^x-4)/(e^x-3)>=0),(-(2e^x-4)/(e^x-3)\text( se )(2e^x-4)/(e^x-3)<0):}$ che si può trascrivere così ${((2e^x-4)/(e^x-3)>=0),((2e^x-4)/(e^x-3)>2/3):} uu {((2e^x-4)/(e^x-3)<0),(-(2e^x-4)/(e^x-3)>2/3):}$

Cordialmente, Alex

[Pemberton!]

Quindi dici che, al posto del sistema che ho scritto io, è più sicuro risolvere con il doppio sistema

${((2e^x-4)/(e^x-3)>=0),((2e^x-4)/(e^x-3)>2/3):} uu {((2e^x-4)/(e^x-3)<0),(-(2e^x-4)/(e^x-3)>2/3):}$

Che hai scritto tu?

Grazie mille della delucidazione alex !

[axpgn]

Generalmente io preferisco fare così ma va bene anche il tuo metodo se lo sai usare ...

Ribadisco che il problema non è il metodo ma essere consapevoli del perché si usa; tu hai intersecato le soluzioni di quelle due disequazioni (come fosse un sistema) ma ciò è sbagliato; hai compreso il perché è sbagliato?
L'importante è questo, non il metodo ...

Cordialmente, Alex

[Pemberton!]

E' di questo che parli?

1a) ho portato $2/3$ al primo membro, ho fatto il mcm e risolto la disequazione fratta così

$(4e^x-6)/(3e^x-9)>0$ da cui ottengo $x<ln(3/2) V x>ln(3)$

1b) Stesso ragionamento

$(8e^x-18)/(3e^x-9)<0$ da cui ottengo $ln(9/4)<x<ln(3)$

se vado ad intersecare i seguenti , l'intersezione è uguale all'insieme vuoto, di conseguenza tale sistema è impossibile.

Se è così, no. Non ho capito il ragionamento teorico per il quale non dovrei intersecare. Come devo procedere per utilizzare correttamente questo metodo, unendo 1a) e 1b) ?

[axpgn]

Ovvero come fa $(2e^x-4)/(e^x-3)$ ad essere sia positivo che negativo per gli stessi valori della $x$?

Cos'è un sistema di equazioni (o disequazioni) ?

Cosa sono le soluzioni di un sistema di equazioni (o disequazioni)?

[Pemberton!]

Ragionandoci un secondino in più era facile capire il concetto.
Comunque è un insieme di 2 o più disequazioni i cui valori verificano contemporaneamente le disequazioni.