Spazio di funzioni Holder continue

[3m0o]

Siano \( - \infty < a <b < \infty \) e \( f \in \mathcal{C}^{0,\alpha}([a,b]) \). Per alleggerire la notazione lasciamo cadere la dipendenza da \( [a,b] \). Definiamo
\[ \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{\mathcal{C}^{0,\alpha}} := \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{\mathcal{C}^{0}} + [f]_{\mathcal{C}^{0,\alpha}} \]
dove
\[ [f]_{\mathcal{C}^{0,\alpha}}: = \sup_{a \leq x \neq y \leq b} \frac{\left| f(x)- f(y) \right|}{\left| x-y \right|^{\alpha}} \]

Dimostra che
1) Se \(f,g \in \mathcal{C}^{0,\alpha}([a,b]) \) allora \(fg \in \mathcal{C}^{0,\alpha}([a,b]) \).
2) Sia \( 0 \leq \alpha \leq \beta \leq 1 \), allora
\[ C^1 \subset C^{0,1} \subset C^{0,\beta} \subset C^{0,\alpha} \subset C^0 \]

Avrei giusto un paio di domande sulle correzioni.
In primo luogo le correzioni per dimostrare che \(fg \in \mathcal{C}^{0,\alpha}([a,b]) \) dimostrano che
\[ \begin{Vmatrix} fg \end{Vmatrix}_{\mathcal{C}^{0,\alpha}} \leq \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{\mathcal{C}^{0,\alpha}} \begin{Vmatrix} g \end{Vmatrix}_{\mathcal{C}^{0,\alpha}} \]
E non capisco come questo dimostri l'appartenenza allo spazio delle funzioni holder continue di \(fg\).
E in modo analogo per dimostrare che \( C^{0,\beta} \subset C^{0,\alpha} \) dimostra che
\[ \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{\mathcal{C}^{0,\alpha}} \leq \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{\mathcal{C}^{0,\beta}} (1+(b-a))^{\beta-\alpha} \]
ma non capisco come questo dimostra l'inclusione di uno spazio nell'altro.

Secondariamente c'è un passaggio che non comprendo. Le correzioni vogliono dimostrare che
\[ [fg]_{\mathcal{C}^{0,\alpha}} \leq \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{C^0} [g]_{\mathcal{C}^{0,\alpha}} + \begin{Vmatrix} g \end{Vmatrix}_{C^0} [f]_{\mathcal{C}^{0,\alpha}} \]
Per farlo ad un certo punto dice
\[ \sup_{a \leq x \neq y \leq b} \frac{\left| f(x)g(x)- f(x)g(y) + f(x)g(y) - f(y)g(y) \right|}{\left| x-y \right|^{\alpha}} \leq \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{C^0} [g]_{\mathcal{C}^{0,\alpha}} + \begin{Vmatrix} g \end{Vmatrix}_{C^0} [f]_{\mathcal{C}^{0,\alpha}} \]
Ma non capisco come spezza il sup. Se ho capito la sua argomentazione sarebbe
\[ \sup_{a \leq x \neq y \leq b} \frac{\left| f(x)g(x)- f(x)g(y) + f(x)g(y) - f(y)g(y) \right|}{\left| x-y \right|^{\alpha}} \leq \sup_{a \leq x \neq y \leq b} \frac{\left| f(x)g(x)- f(x)g(y) \right|}{\left| x-y \right|^{\alpha}} + \sup_{a \leq x \neq y \leq b} \frac{\left| f(x)g(y) - f(y)g(y) \right|}{\left| x-y \right|^{\alpha}} \]
\[ = \sup_{a \leq x \neq y \leq b} \frac{\left| f(x) \right| \left| g(x)- g(y) \right|}{\left| x-y \right|^{\alpha}} + \sup_{a \leq x \neq y \leq b} \frac{\left| g(y) \right| \left|f(x) - f(y) \right|}{\left| x-y \right|^{\alpha}} \leq \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{C^0} [g]_{\mathcal{C}^{0,\alpha}} + \begin{Vmatrix} g \end{Vmatrix}_{C^0} [f]_{\mathcal{C}^{0,\alpha}} \]
Ma se non erro vale il contrario, ovvero
\( \sup fg \geq \sup f \cdot \sup g \).

[Wilde]

Cosa non ti convince in particolare??
Semplicemente se la $||fg ||_{C^{0,\alpha}}$ è finita allora soddisfa la condizione di Holder e chiaramente il prodotto rimane continuo e limitato. Qundi appartiene allo spazio di Holder $C^{0,\alpha}$.

Per quanto riguarda l'ultima disuguaglianza, direi invece che vale proprio l'opposto. Cioè
\[
\sup |f||g| \le \sup |f| \sup|g|
\]

[3m0o]

Hai ragione per \(f\) e \(g\) non negative è vero che
\[ \sup fg \leq \sup f \sup g \]
ma in generale vale il contrario
\[ \sup fg \geq \sup f \sup g \]
prendi ad esempio \( f(0) = 0 \) e \( f(x) = -1 \) se \( x \neq 0 \) allora
\[ 1=\sup f^2 \geq \sup f \sup f = 0 \]

Per l'altra domanda:
- Come fai a calcolare la norma di una funzione se a priori non sai se appartiene a quello spazio topologico?
- La finitezza della norma implica l'appartenenza allo spazio sempre (per spazi generici e norme generiche?)
- La finitezza della norma è condizione sufficiente ma non necessaria per appartenere allo spazio, vero?

Sull'ultimo punto prendi una funzione continua. Su un compatto la sua norma è sempre finita, ma nel caso in cui prendiamo \( \mathbb{R} \) non è necessariamente finita (ad esempio \( x \mapsto x \) ) e dunque se maggiorare la norma come ha fatto lui non ti garantisce che è finita.

[Wilde]

Mi ripeto, la disuguaglianza
\[
\sup fg \geq \sup f \sup g
\]
non è corretta.
Basta prendere $f(x)=1_{(0,+\infty)}$ e $g=1_{(-\infty,0)}$.

- Come fai a calcolare la norma di una funzione se a priori non sai se appartiene a quello spazio topologico?

Semplicemente consideriamo per esempio lo spazio delle funzioni continue $C\left(\ \left[a,b\right]\ \right)$ con la norma $||\cdot||_\infty$ definita come
\[
||f||_{\infty}=\sup_{[a,b]}f.
\]
Ora presa una qualsiasi funzione definita su $[a,b]$ posso calcolare la "norma" semplicemente calcolando il "sup". Ovvio chiamarla norma è improprio dato che chiaramente la funzione norma ha come dominio lo spazio $C(\ [a,b]\ )$. Stiamo semplicemente estendendo il dominio della funzione norma $||\cdot||_{\infty}$ alle funzione per cui ha senso farlo.

- La finitezza della norma implica l'appartenenza allo spazio sempre (per spazi generici e norme generiche?)

Chiaramente no. Prendiamo lo spazio di prima $(C(\ [-1,1] \),||\ ||_\infty)$.
La funzione $1_{\ [0,1]\ }$ ha "norma" finita ma non appartiene allo spazio normato. Certo come prima, dire che stiamo facendo la norma è incorretto dato che chiaramente la norma ha come dominio lo spazio $C(\ [-1,1]\ )$.

- La finitezza della norma è condizione sufficiente ma non necessaria per appartenere allo spazio, vero?

No no, al più è una condizione necessaria. Diciamo che la funzione norma è una funzione a valori in $[0,+\infty)$ per definizione e quindi tutte le funzioni appartenenti allo spazio normato devono avere norma finita.

Ho capito forse cosa non ti convinceva. E' solo una questione di parole e mettersi d'accordo su come utilizzarle.
Hai ragione, se vuoi quando calcoli $ ||fg ||_{C^{0,\alpha}} $ non stai calcolando la norma ma dei "sup" definiti su tutte le funzioni a valori reali. Una volta che sai invece che $fg$ appartiene allo spazio allora puoi chiamarla norma.

Ho scritto un po' velocemente... se non sono stato chiaro dimmi pure.

[Wilde]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Ho faticato parecchio a usare latex. Sono rimbecillito o c'è qualcosa che non va??
Perche con \sup mi da $\sup$.
E con C([a,b]) mi da $C([a,b]) $

[gugo82]

@ Wilde:

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Purtroppo è MathML che dà quei problemi lì.
Chi ha scritto il linguaggio ha usato "sub" per produrre $sub$ e "sup" per $sup$ (e "sube"/"supe" per ottenere $sube$/$supe$)... Sarà stato qualche patito di Algebra!

Invece, il problema con la classe delle funzioni continue credo dipenda dall'uso delle parentesi (ed io lo aggiro usando le quadre in modalità testo).

[3m0o]

Mi ripeto, la disuguaglianza
\[
\sup fg \geq \sup f \sup g
\]
non è corretta.
Basta prendere $f(x)=1_{(0,+\infty)}$ e $g=1_{(-\infty,0)}$.

- Come fai a calcolare la norma di una funzione se a priori non sai se appartiene a quello spazio topologico?

Semplicemente consideriamo per esempio lo spazio delle funzioni continue $C\left(\ \left[a,b\right]\ \right)$ con la norma $||\cdot||_\infty$ definita come
\[
||f||_{\infty}=\sup_{[a,b]}f.
\]
Ora presa una qualsiasi funzione definita su $[a,b]$ posso calcolare la "norma" semplicemente calcolando il "sup". Ovvio chiamarla norma è improprio dato che chiaramente la funzione norma ha come dominio lo spazio $C(\ [a,b]\ )$. Stiamo semplicemente estendendo il dominio della funzione norma $||\cdot||_{\infty}$ alle funzione per cui ha senso farlo.

- La finitezza della norma implica l'appartenenza allo spazio sempre (per spazi generici e norme generiche?)

Chiaramente no. Prendiamo lo spazio di prima $(C(\ [-1,1] \),||\ ||_\infty)$.
La funzione $1_{\ [0,1]\ }$ ha "norma" finita ma non appartiene allo spazio normato. Certo come prima, dire che stiamo facendo la norma è incorretto dato che chiaramente la norma ha come dominio lo spazio $C(\ [-1,1]\ )$.

- La finitezza della norma è condizione sufficiente ma non necessaria per appartenere allo spazio, vero?

No no, al più è una condizione necessaria. Diciamo che la funzione norma è una funzione a valori in $[0,+\infty)$ per definizione e quindi tutte le funzioni appartenenti allo spazio normato devono avere norma finita.

Ho capito forse cosa non ti convinceva. E' solo una questione di parole e mettersi d'accordo su come utilizzarle.
Hai ragione, se vuoi quando calcoli $ ||fg ||_{C^{0,\alpha}} $ non stai calcolando la norma ma dei "sup" definiti su tutte le funzioni a valori reali. Una volta che sai invece che $fg$ appartiene allo spazio allora puoi chiamarla norma.

Ho scritto un po' velocemente... se non sono stato chiaro dimmi pure.

Ho capito grazie mille!

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se vuoi scrivere \( \sup \) scrivendo \sup allora invece di usare il dollaro $ scrivi \ ( \sup \ ) (con il backslash e le parentesi attaccate).