da navigatore » 04/06/2014, 21:34
Partiamo invece proprio dal disco (o sfera) che è posto su un piano inclinato, e poi arriviamo al piano con inclinazione zero.
Il disco e il piano si suppongono perfettamente rigidi (come di solito in meccanica elementare).
Se il disco e il piano fossero perfettamente lisci, quindi con attrito esattamente nullo, il disco scivolerebbe sul piano inclinato, con moto accelerato da $a = gsen\alpha$, come farebbe un semplice punto materiale, senza ruotare affatto. Cioè traslerebbe solamente, e l'energia potenziale $mgh$ si trasformerebbe tutta in energia cinetica di traslazione.
Sarebbe,ripeto, come un punto materiale che scivola sul piano inclinato, senza attrito : discorso finito.
Ma noi supponiamo invece che il disco non scivoli, bensì rotoli sul piano inclinato (c'è un valore limite dell'inclinazione del piano, legato al valore del coefficiente di attrito statico, che non si deve superare se non si vuole lo scivolamento, ma il rotolamento puro.Superato tale angolo, si ha scivolamento e rotolamento).
Che cosa è che fa rotolare il disco? È l'azione delle forze esercitate dal piano "scabro" sul disco "scabro" . Il piano agisce sul disco con una forza, che ha una componente normale $F_n$ e una componente tangenziale $F_t$, che è la forza di attrito. Siccome per ipotesi non c'è scivolamento, $F_t$ è la forza di attrito statico : nel punto di contatto, centro di istantanea rotazione, non c'è moto relativo tra disco e piano. La $F_t$ può prendere qualunque valore tra $0$ e $\muF_n$. Ma nel rotolamento puro prende il valore necessario per evitare lo scivolamento (ammesso che non sia superiore al massimo, come detto) .
Per risolvere il problema del rotolamento, si possono usare vari procedimenti :
1)equilibrio dei momenti rispetto all'asse di rotazione istantaneo
2)equilibrio dei momenti rispetto all'asse baricentrico
3) conservazione dell'energia (anche se c'è una forza di attrito, questa non compie lavoro)
Nel primo procedimento, l'asse istantaneo passa per il punto P di contatto, perché non c'è scivolamento. Questo punto si muove parallelamente al CM del disco, quindi la 2° eq. cardinale si scrive semplicemente :
$M_P = I_P (d\omega)/(dt)$ -------(1)
dove $M_P = mgRsen\alpha$ è il momento delle forze esterne rispetto al polo P. La forza di reazione del piano ha momento nullo rispetto a P.
Per la condizione di rotolamento puro, il CM del disco ha velocità : $ v_C = \omegaR$. Quindi l'accelerazione lineare del CM vale : $ a_C = R(d\omega)/(dt)$ . Sostituendo nella precedente, si ricava :
$a_C = (mgR^2)/I_Psen\alpha$ ---------(2)
Per il teorema di Huygens, si ha : $ I_P = I_C + mR^2$ , essendo $I_C$ il momento di inerzia baricentrico del disco.
Per cui in definitiva l'accelerazione del CM vale : $ a_C = (gsen\alpha)/(1+ I_C/(mR^2))$ ---------(3)
Questo metodo è rapido, ma non dà informazioni sulla entità della forza di attrito. Per questo, si deve usare il secondo metodo, assumendo come polo il CM. Allora la (1) si scrive con riferimento al CM :
$M_C = I_C (d\omega)/(dt)$--------(4)
adesso risulta : $ M_C = F_tR$ -------(5)
e abbiamo due incognite, l'accelerazione angolare e la forza di attrito. Occorre un'altra relazione, che viene dalla 1° eq. cardinale ( moto del CM) :
$ma_C = mgsen\alpha - F_t$ ------(6)
tenendo sempre presente la condizione di rotolamento puro, per cui : $ a_C = R(d\omega)/(dt)$ , e lavorando un po' sulle equazioni scritte si trova per $a_C$ il risultato (3) già visto. E si trova che la forza di attrito vale :
$F_t = I_C/(I_C + mR^2) *mgsen\alpha$ -------(7)
che deve essere inferiore al valore max consentito $\mu F_n$ per avere rotolamento puro.
Adesso, se l'angolo di inclinazione si annulla , risulta anche : $sen\alpha = 0$ , e quindi si annullano anche l'accelerazione del CM data dalla (3) e la forza di attrito data dalla (7).
Perciò, il corpo rotola su un piano orizzontale con moto rettilineo uniforme, senza essere sottoposto ad alcuna forza di attrito.
Ho fatto tutto questo procedimento, per arrivare matematicamente al risultato che volevi sapere: se dai un colpetto a un disco (o sfera) posto su un piano orizzontale, imprimendogli quindi una certa velocità iniziale ( e quantità di moto e energia, chiaro), il disco, in un caso puramente ideale , può rotolare all'infinito con velocità angolare e quindi velocità di traslazione costante, senza forza di attrito. Questa è servita a imprimere la rotazione (senza slittamento) iniziale, e basta.
Oppure, se il piano inclinato diventa piano orizzontale, supponendo che non ci sia perdita di energia nel breve urto al cambio di direzione, il disco continua a rotolare sul piano orizzontale con l'energia cinetica che aveva quando è arrivato in fondo alla discesa. Questo calcolo energetico non lo faccio.
Ma questo è un caso puramente ideale, come ho sottolineato. L'esperienza ci dice che in realtà il disco sul piano orizzontale si ferma. Succede perché interviene un'altra forma di attrito, detto volvente, dovuto alla deformazione del piano e del disco. E interviene l'attrito con l'aria.
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