Studio della funzione $ f(x) = \frac{(-1)^{\lfloor x \rfloor}}{1+x} $

[ncant]

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"Golden Sneer" parte in sottofondo.

Sia $ k \in \mathbb{Z} $ e $ m \in (k, k + 1) $, si ha:

\[
\lim_{x \to m^+} ⌊x⌋ = \lim_{x \to m^-} ⌊x⌋ = ⌊m⌋
\]

(Es.: $ ⌊1,2⌋ = 1; ⌊1,19⌋ = 1; ⌊1,21⌋ = 1 $)

[Mephlip]

Sì, è vero, ma perché è vero? Devi usare un argomento \(\varepsilon\)-\(\delta_{\varepsilon}\) per dimostrarlo (o, eventualmente, teoremi). Altrimenti potrei contestare che sei andato a intuito con gli esempi o hai semplicemente sostituito.

[ncant]

Ci provo:

Sia $ n \in \mathbb{Z} $. Allora $ \lfloor n \rfloor = n$. Considerando invece $ x \in \mathbb{R} $, ne risulta che $ \lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1 $.
Consideriamo l'intervallo aperto $ (n, n+1) $. Si ha:
\[ \forall x \in (n, n+1) : \lfloor x \rfloor = n \]
Ciò risulta in
\[ \forall x \in (n, n+1) : \lfloor x \rfloor - n = 0
\]
Ora, sia $ \varepsilon \in \mathbb{R}_{> 0} $ e sia $ \delta \in (n, n+1) $. Allora:
\[ \forall x \in (n, n+1) : n < x < n + \delta : \left| \lfloor x \rfloor - n \right| < \varepsilon \]
Cioè
\[
\lim_{x \to n^+} \lfloor x \rfloor = \lfloor n \rfloor = n
\]

[Mephlip]

Non abbiamo detto che la parte intera inferiore è discontinua sugli interi? Perché stai cercando di dimostrare la continuità su un intero generico? O vuoi fare altro e non ti sto seguendo?

Devi dimostrare la continuità in un arbitrario \(x_0 \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\). L'idea che hai avuto nell'ultimo messaggio non è male, prova a riciclarla osservando che:\[
\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\ = \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} (k,k+1)
\]

[ncant]

Non abbiamo detto che la parte intera inferiore è discontinua sugli interi? Perché stai cercando di dimostrare la continuità su un intero generico? O vuoi fare altro e non ti sto seguendo?

https://proofwiki.org/wiki/Floor_Functi ... at_Integer
Un procedimento simile viene fatto qui. (pp. 5-6)

Devi dimostrare la continuità in un arbitrario \(x_0 \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\). L'idea che hai avuto nell'ultimo messaggio non è male, prova a riciclarla osservando che:\[
\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\ = \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} (k,k+1)
\]

Una parola allora... dammi un po' di tempo e modifico questo messaggio.

[Mephlip]

Ma quella da te linkata è la continuità a destra. Una funzione è continua se e solo se è continua a destra e a sinistra; infatti, se fai lo stesso ragionamento a sinistra non funziona. Per farlo funzionare, devi considerare \(n-1\) anziché \(n\), quindi non è continua perché sono diversi i risultati che ottieni a destra e sinistra. Hai anche postato il grafico, è discontinua sugli interi.

[ncant]

Si consideri $ f(x) = \lfloor a \rfloor $.

Sia $ a \notin \mathbb{Z} $. Considerando $ \varepsilon > 0 $, sia $ \delta = \min \{ a - \lfloor a \rfloor, \lfloor a + 1 \rfloor - a \} $. Dato che $ a \notin \mathbb{Z} $, allora $ a \ne \lfloor a \rfloor $ e $ a \ne \lfloor a + 1 \rfloor $. Dunque, $ \delta > 0 $. Si noti che per tutte $ x $ che soddisfano $ | x - a | < \delta $, si ha che
\[
f(x) = \lfloor x \rfloor = \lfloor a \rfloor.
\]
Pertanto:
\[
| f(x) - f(a) | = | f(a) - f(a) | = 0 < \varepsilon
\]
da cui (si spera) si deduce che $ f $ è continua in $ a $.

[Mephlip]

Sì, va bene. L'idea intuitiva è sostanzialmente la seguente: essendo \(x_0 \notin\mathbb{Z}\) "c'è spazio" tra \(x_0\) e due interi consecutivi. Quindi, dato che \(x \to x_0\), a patto di restringere opportunamente la distanza tra \(x\) e \(x_0\) (ossia, a patto di prendere \(\delta_{\varepsilon}\) sufficientemente piccolo), si riesce a inserire \(x\) e \(x_0\) tra due interi consecutivi e dunque a far sì che abbiano la stessa parte intera inferiore (o superiore, infatti la dimostrazione per la parte intera superiore è identica). L'ipotesi che \(x_0 \notin\mathbb{Z}\) è fondamentale, perché altrimenti non importa quanto si riduca la distanza tra \(x\) e \(x_0\): non si riesce a metterli entrambi tra due interi consecutivi.

Per la derivabilità in \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\)?

[ncant]

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Ahhhhh... ho capito. Questo è il test d'ingresso per diventare un membro di Bourbaki
(si scherza, gente!)

[Mephlip]

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In effetti, queste cose le prime volte che si vedono formalizzate sembrano roba aliena. Ma poi ci si fa l'abitudine.