Esercizi su spazi di Sobolev

[Gi8]

1) Fissato $N in NN$
sia $p in (N,+oo)$, sia $u in W^(1,p) (RR^N)$. Dimostrare che $lim_{|x| ->+oo}u(x)=0$

Svolgimento:
Esiste $(u_n)_(n in NN) sube C_c^oo (RR^N)$ tale che $u_n-> u $ in $W^(1,p)(RR^N)$.
Dato che $W^(1,p)(RR^N)$ si immerge con continuità in $L^oo(RR^N)$ (se $p>N$),
$||u_n-u||_(L^oo(RR^N)) <= c*||u_n-u||_(W^(1,p)(RR^N))->0$
Quindi per ogni $epsilon>0$ esiste $m in NN$ tale che $||u_m -u||_(L^oo(RR^N))<epsilon$.
Posto $Omega_m:= RR^N \setminus \text{supp}(u_m ) $, su $Omega_m$ si ha $|u_m -u|=|u|$,
pertanto $||u||_(L^oo( Omega_m)$ $ = ||u_m-u||_(L^oo( Omega_m)$ $<= ||u_m-u||_(L^oo( RR^N) $ $ <epsilon$
da cui la tesi (perchè $text(supp)(u_m)$ è compatto).

Può andare?

$1<=p<N$. Trovare $u in W^(1,p) (RR^N)$ tale che \( \displaystyle \limsup_{|x| \to + \infty}|u(x)|>0\)

Qui non riesco a trovare un'idea buona

[dissonance]

La 1 va bene. Per la 2 immagino ti tocchi adattare l'esempio solito di funzione $L^p$ che non decade a infinito, ossia, la funzione con gli "spikes" che diventano sempre più stretti alla base. Prova a cominciare dalla dimensione 1. Per il caso multidimensionale poi vediamo, immagino che potrai trovare un esempio radiale.

[Gi8]

Prendiamo $f:[0,2]->RR$ così definita: $f(x)={(x \quad \text{in } [0,1]),(2-x \quad \text{in } [1,2]):}$
Graficamente, $f$ è un triangolo isoscele di altezza 1 e base lunga 2, quindi ha area pari a $1$.

A questo punto, "prolunghiamo" $f$ su $(2,4]$
mettendo un altro triangolo isoscele, sempre di altezza $1$, ma con base la metà (cioè $1$).
Più precisamente,
\[ f(x)= \begin{cases}
0 \quad x \in (2, 2.5) \\
2x-5 \quad x \in [2.5 ,3]\\
-2x+7 \quad x \in (3, 3.5]\\
0 \quad x \in (3.5,4]
\end{cases}\]
L'area di quest'ultimo triangolo è pertanto $1/2$.
Procediamo così all'infinito: abbiamo una serie di triangoli, tutti di altezza $1$ e con base sempre dimezzata.

Poi, per completare sui numeri negativi, poniamo $f(x):= f(-x)$ per ogni $x<0$

Questa funzione è continua e derivabile a tratti;
$int_RR |f(x)|dx= 2 sum_(n=0)^(+oo) (1/2)^n=2$;

Dunque $f in L^1 (RR)$. Inoltre $lim_(|x| ->+oo) \text{sup}f(x)=1$.
Domanda: è vero che $f in W^(1,1)(RR)$?

[dissonance]

Ma è proprio lì il punto dell'esercizio. Calcola la derivata, non ti fare troppe menate analitiche, fallo su un disegno. La norma $L^1$ di questa derivata sarà data da una serie. Si tratta di gestire bene la costruzione affinché questa serie sia convergente.

P.S Comunque mi sa che non funziona. Non so neanche se si può riparare in qualche modo questa idea

[dissonance]

Comunque con gli spikes non si va da nessuna parte. Se la base si stringe e l'altezza si alza, la derivata cresce. Quindi non c'è speranza che formi una successione sommabile. Ci vuole un'altra idea e ora non mi viene in mente granché.

[Gi8]

Ci vuole un'altra idea e ora non mi viene in mente granché.

Nemmeno a me

[dissonance]

Ci stavo pensando, prova con l'esempio standard di funzione che è nello spazio di Sobolev critico ma non è limitata. Quell'esempio è fatto bene negli appunti di Girardi:

http://www-dimat.unipv.it/gilardi/WEBGG/anfunz.htm

(cerca "mostro sobolev"), senno' sul libro di Evans di PDE, cerca "The borderline case $p=n$" nel capitolo sugli spazi di Sobolev. Quella funzione secondo me puo' fare da building block per il nostro esempio.

[dissonance]

Ciao, torno qui a spizzichi e bocconi perché sono un po' occupato e penso a questo problema nei ritagli di tempo. Mi sa che, tanto per cominciare, nella traccia c'è un errore: bisogna supporre $N>1$ [PS Vedo solo ora che in realtà c'era scritto, sono io a non averlo letto].

Infatti una funzione \(u\in W^{1,1}(\mathbb{R})\) è *assolutamente continua*, ovvero, si puo' scrivere come funzione integrale:

\[
u(x)=u(0) + \int_0^x v(y)\, dy,
\]
dove $v$ è esattamente la derivata nel senso delle distribuzioni (non sorprendentemente). Pertanto $u$ ammette limite all'infinito: \(u(\infty)=u(0)+\int_0^\infty u'(y)\,dy\), e l'integrale a membro destro è assolutamente convergente. Ora se una funzione assolutamente integrabile ammette limite all'infinito, questo limite non puo' che fare zero, chiaramente.

Quindi hai voglia a ragionare in una dimensione, non avremmo concluso mai nulla. Mi dispiace averti dato un suggerimento fuorviante.

[dissonance]

Ok, io ho pensato ad una soluzione che [IMHO - e speriamo di non aver sbagliato ancora] dovrebbe andare bene. Si basa sull'esempio tratto dal libro di Evans:

la funzione \(u(x)=\log\log\left(1+\frac{1}{\lvert x\rvert}\right)\) è in \(W^{1, N}(B(0, 1))\) ed è tale che
\[
\lVert u\rVert_{L^\infty(B(0, 1))}=\infty.\]

Si tratta di una funzione con una singolarità nell'origine. Idea - modulo dettagli tecnici: traslando questa singolarità e sommando, si ottiene una funzione con due singolarità, una nell'origine e una in un altro punto a scelta. Ripetendo, si ottiene una funzione con una successione di singolarità. (Chiaramente, se uno somma infinite volte, deve anche metterci uno smorzamento per garantire che la serie di funzioni così formata sia convergente in \(W^{1, N}\). Questo è uno dei dettagli tecnici)

Se le singolarità viaggiano a infinito, si ottiene una funzione non limitata in alcun intorno di \(\infty\).

[Gi8]

Intanto grazie mille!
Credo di avere capito:
$u(x)= sum_{n>=0} log(log(1+1/|x-n e_1|))* chi_( B(n e_1, 1/2) ) (x) $
Potrebbe andare?