Sale a tutti.
Mi sono imbattuto in questo problema da cui non riesco a venire a capo.
Sia $ phi(x)= e^-(pix^2) $ e $ psi(n)= phi** phi**...**phi $ (n volte).
a) Mostrare che $ ||psi(n)|| = 1 $ in L1(R)
b) Mostrare che $ ||psi(n)|| rarr 0 $ in L2(R)
c) stabilire se $ psi(n) $ converge uniformemente (limitando l'attenzione per semplicità al caso in cui i numeri n siano potenze di 2)
(Suggerimento: usare le proprietà della trasformata di Fourier di $ psi(n) $ )
Ho cominiciato facendo alcune osservazioni.
So che
i) $ hat(phi) = phi $
e quindi
$ ||psi(n)||=||phi**phi**...**phi|| = ||hat(phi)**hat(phi)**...**hat(phi)|| $ .
ii) per Plancharell $ ||hat(phi)||=||phi|| $ se $ phi $ appartiene a L1(R) $ nn $ L2(R).
iii) $ int_(-oo )^(+oo) e^-(pix^2) dx = 1 $
Ho fatto vari tentativi ma non riesco a dimostrare nessuna delle 3 richieste.
Mi sapreste aiutare per favore?
Grazie!