Convoluzione tra n Gaussiane

[morgantar]

Sale a tutti.
Mi sono imbattuto in questo problema da cui non riesco a venire a capo.
Sia $ phi(x)= e^-(pix^2) $ e $ psi(n)= phi** phi**...**phi $ (n volte).
a) Mostrare che $ ||psi(n)|| = 1 $ in L1(R)
b) Mostrare che $ ||psi(n)|| rarr 0 $ in L2(R)
c) stabilire se $ psi(n) $ converge uniformemente (limitando l'attenzione per semplicità al caso in cui i numeri n siano potenze di 2)
(Suggerimento: usare le proprietà della trasformata di Fourier di $ psi(n) $ )
Ho cominiciato facendo alcune osservazioni.
So che
i) $ hat(phi) = phi $
e quindi
$ ||psi(n)||=||phi**phi**...**phi|| = ||hat(phi)**hat(phi)**...**hat(phi)|| $ .
ii) per Plancharell $ ||hat(phi)||=||phi|| $ se $ phi $ appartiene a L1(R) $ nn $ L2(R).
iii) $ int_(-oo )^(+oo) e^-(pix^2) dx = 1 $
Ho fatto vari tentativi ma non riesco a dimostrare nessuna delle 3 richieste.
Mi sapreste aiutare per favore?
Grazie!

[morgantar]

So Anche che

$ hat(f**g)= hat(f)*hat(g) $

[ciampax]

Ecco, appunto: se usi l'osservazione che fai in i) e questa formula, dovresti ottenere che $||\psi(n)||=||\varphi^n||$, non ti pare?

[morgantar]

esatto, però poi quando svolgo l'integrale

$ int_(-oo)^(+oo) e^-(npix^2)dx $ = $ 1/sqrt(n) $

attraverso il cambio di variabile

$ t^2=nx^2 $

Forse sbaglio l'integrale?
Grazie per la risposta ciampax

[ciampax]

Scusami, ma se $||\phi||=1$ il $L^1$, allora $||\phi^n||=||\phi||^n=1$$, non ti pare?

[morgantar]

Ci avevo pensato ma l'equazione

$ ||phi^n||=||phi||^n $

non mi convince nel caso di $ phi $ .

e poi, com'è possibile che se lo calcolo con l'integrale mi viene un risultato diverso?

[ciampax]

Sì, scusa, mi sono accorto dopo che stavo pensando ad un'altra cosa. Dunque, per prima cosa chiariamo un fatto: nelle richieste dell'esercizio al punto 1) devi calcolare la norma $L^1$, al punto due la norma $L^2$. Ora, Plancherel afferma che $||\hat{f}||_2=||f||_2$, cioè l'identità vale per la norma $L^2$, non $L^1$. Vediamo cosa sappiamo:
i) $||\phi||_1=1,\qquad ||\phi||_2=1/\sqrt{2}$
ii) $\hat{\phi}(\xi)=\phi(\xi)$ per cui mi sembra di capire che tu usi questa definizione di trasformata: $\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-2\sqrt{\pi}\ i x \xi}\ dx$, o sbaglio? (E' l'unica che mi restituisce la trasformata esattamente identica, altrimenti ad esponente appaiono delle costanti). Inoltre
$$\widehat{\psi(n)}(\xi)=\widehat{\varphi\star\ldots\star\varphi}(\xi)=\hat{\varphi}(\xi)^n=\varphi(\xi)^n$$

Se è così, effettivamente la norma $L^1$ non può essere 1, per cui mi sa che la relazione tra $\phi$ e la sua trasformata sia diversa (ovvero, appaia la famosa costante).

[morgantar]

Dunque, se i miei calcoli sono corretti
i) $ ||phi||_(L^2)^2=1/sqrt(2) $ .

ii) La definizione che uso di trasformata di fourier è:
$ hat(f)(omega)= int_(-oo)^(+oo) f(t)e^(-2pii omega t) dt $.

Sul "libro" utilizzato dal mio docente c'è la dimostrazione del fatto che la trasformata della gaussiana è la gaussiana stessa (identica). Mi fido, io non riesco a calcolarla.

iii) esatto

[ciampax]

1) sì, m'ero scordato il quadrato.
2) allora, ti faccio vedere un metodo per calcolare la trasformata della gaussiana usando la definizione di trasformata che usi tu. Indichiamo con
$$F(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi t^2} e^{-2\pi i\xi t}\ dt$$
la trasformata della funzione $phi$. Osserva che derivando (almeno formalmente, non mi pongo al momento problemi di derivabilità sotto integrale, ma è una cosa che posso fare) rispetto a $\xi$ si ha
$$F'(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty} -2\pi i t e^{-\pi t^2} e^{-2\pi i\xi t}\ dt=i\int_{-\infty}^{+\infty} (2\pi t e^{-\pi t^2}) e^{-2i\pi\xi t}\ dt=$$
integrando per parti
$$=i\left[e^{\pi t^2} e^{-2i\pi\xi t}\right]_{-\infty}^{+\infty}-i\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi t^2} (-2i\pi\xi e^{-2i\pi\xi t})\ dt=$$
osservando che il primo termine ha valore zero, in quanto l'esponenziale reale ha limite zero per $t\to\pm\infty$
$$=-2\pi\xi\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi t^2} e^{-2i\pi\xi t}\ dt=-2\pi\xi\ F(\xi)$$
pertanto la trasformata soddisfa l'equazione differenziale
$$F'=-2\pi\xi\ F$$
la cui soluzione è
$$F(\xi)=C\ e^{-\pi \xi^2}$$
Per calcolare $C$, posto $\xi=0$ si ha
$$C=F(0)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi t^2}\ dt=1$$
Pertanto effettivamente abbiamo che $hat{\phi}=\phi$.
Detto questo: nel caso della norma $L^2$ si ha
$$||\psi(n)||^2_2=||\widehat{\psi(n)}||_2^2=||\varphi^n||_2^2=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2n\pi x^2}\ dx=$$
con il cambio di variabile $t=\sqrt{2n} x$
$$=\frac{1}{\sqrt{2n}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi t^2}\ dt=\frac{1}{\sqrt{2n}}\rightarrow 0$$
per cui almeno sul secondo punto ci siamo.