Data una funzione f(x)=x^3+x+9 verifica che l'equazione f(x)=0 ammette una sola soluzione e dimostrare che questa appartiene all' intervallo [-2; 1].
Il Teorema di Rolle lo devi usare per dimostrare che la soluzione è unica.Innanzitutto ti dico che esiste un teorema,il Teorema fondamentale dell'algebra che afferma che ogni equazione di grado n
ha esattamente n soluzioni,ognuna contata con la propria molteplicità.
Questo significa che l'equazione 3x^3 + x + 9 = 0 ha 3 soluzioni e non
una come hai detto tu.In matematica bisogna essere precisi.
Se consideri solo le soluzioni reali,allora si,ma lo devi dire,ok?
Cmq veniamo al problema,per dimostrare che la soluzione c'è e che appartiene all'intervallo [-2,1],la collega credo sia stata abbastanza esauriente,per quanto riguarda invece la dimostrazione dell'unicità invece no,quindi te lo dimostro io.Usando appunto il teorema di Rolle.
Esso dice che una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b),se assume valori uguali agli estremi,allora esiste almeno un punto c interno all'intervallo (a,b) in cui la derivata si annulla,cioè f '(c) = 0.
Ragioniamo per assurdo,supponiamo che,oltre alla soluzione che hai gia trovato ne esista un'altra e facciamo vedere che questo è impossibile.Chiamo x1 la soluzione che sta nell'intervallo [-2,1] e x2
un'altra ipotetica soluzione.Adesso,premesso che la funzione è dappertutto continua e derivabile,considero l'intervallo [x1,x2].
la funzione allora è continua e derivabile in quest'intervallo,ovviamente.
Siccome x1 e x2 sono soluzioni dell'equazione x^3+x+9=0 significa
che f(x1)=f(x2)=0,giusto?
Allora applichiamo Rolle,il teorema ci dice che deve esserci per forza un punto c in [x1,x2] per cui f '(c)=0.Allora calcoliamo la derivata della
nostra funzione che è f '(x) = 3x^2 + 1.
Ci sei fin qui?
Adesso proviamo a cercare questo punto c,siccome f '(c) deve essere
zero,dobbiamo semplicemente trovare le soluzioni dell'equazione
3x^2 + 1 = 0.
Il problema però è che questa equazione non ha nessuna soluzione in R,infatti riscrivendola in questo modo x^2 = -(1/3) te ne accorgi subito.
Non esiste nessun numero reale che elevato al quadrato dia un numero negativo,questo significa che,l'ipotesi iniziale dell'esistenza di due soluzioni in R è falsa.
L'esercizio è svolto correttamente?