Determinare equazione di funzione omografica

[kristie97]

Salve a tutti, vi volevo proporre il testo di un esercizio che non riesco a risolvere:

-Determinare l'equazione dell'iperbole equilatera traslata y= (ax+b)/(cx + d) avente il centro di simmetria nel punto (1;-3) e passante per il punto (-1;-1)

[y = (3x +1)/(1-x)]

Determinare l'equazione di una conica non è difficile, basta impostare il sistema con l'equazione generale della conica, dopo aver sostituito le x e y con le coordinate del punto, e con le equazione degli asintoti derivanti dal centro di simmetria; però ho solo 3 condizioni, quando le incognite da determinare sono quattro! Di solito la professoressa ci dava esercizi simili ma con 3 incognite, e non quattro.

E' possibile risolvere questo esercizio?

[Vulplasir]

Si è possibile. Scrivi le incognite $a$,$b$ e $d$ in funzione di $c$ e in seguito riscrivi l'equazione dell'iperbole con i corrispettivi valori di $a$,$b$, e $d$ in funzione di $c$, dunque potrai semplificare $c$ e otterrai la tua iperbole.

[@melia]

In effetti le incognite sono 4 solo in apparenza, dividendo numeratore e denominatore per $c$, che è $ !=0$ altrimenti non sarebbe un'iperbole, si ottiene $y=((a/c)x+(b/c))/(x+(d/c))$ da cui ponendo $a/c=h$, $b/c=k$ e $d/c=l$ si ottiene un problema con 3 sole incognite.

Credo, comunque, che il metodo suggerito da Vulplasir sia il più veloce e immediato.

[kristie97]

Ok, ho fatto come mi avete detto voi, però arrivo ad un punto in cui determino che b= -c, d=-c e a=-3c !
Sostituendo tali valore all'equazione dell'iperbole non determino nulla perché si annulla tutto! Come devo fare?

[giammaria]

Sostituendo le tue soluzioni nell'equazione ottieni
$y=(-3cx-c)/(cx-c)$
Ora metti in evidenza $c$ e semplificalo: ti resta $y=(-3x-1)/(x-1)$ che è l'equazione voluta.

[kristie97]

Ottimo! Grazie mille del chiarimento gianmaria, e grazie anche agli altri per l'aiuto