Accelerazione in un sistema di carrucole e pesetti

Messaggioda Moralizzatore » 16/05/2018, 18:15

Inserisco l'immagine descrittiva dell'esercizio nello spoiler perché di estensione piuttosto invadente :)
Naturalmente comprensiva della mia idea di come dovrebbero andare le cose:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Immagine


In particolare riporto la consegna dell'esercizio:

"Dati $m_1=2.5Kg, m_2=1.8 Kg$ e $m_3=2.2 Kg$, calcolare le accelerazioni delle
masse e le tensioni delle funi. (Funi e carrucole sono ideali)."

Queste sono le mie considerazioni: Il filo che passa sulla carrucola verde chiaro è unico, ideale e continuo per cui la tensione è una costante ed è pertanto uguale ovunque. Motivo per cui $T_4 = T_5$ e chiamerò questa d'ora in avanti $T'$. Analoga considerazione ho mosso nei confronti della carrucola verde scuro per cui nel risolvere ho considerato $T_2=T_3$ indicata come $T$. Applicando il secondo principio della dinamica alle due carrucole ottengo nell'ordine che $T = 2T'$

A questo punto applico il secondo principio della dinamica ai pesetti $2$ e $3$ ottenendo rispettivamente che

$T'-m_2g = m_2a_2$
$T'-m_3g = m_3a_3$

Applicando il secondo principio al pesetto $1$ ottengo invece che

$2T' -m_1g = m_1a_1$

A questo punto ho pensato che il filo ideale sulla carrucola in basso ponesse un vincolo cinematico sul modulo dell'accelerazione dei pesetti $2$ e $3$ che dovranno quindi essere uguali. In particolare l'accelerazione di uno sarà in verso opposta alla rimanente. Ad esempio scelgo di porre che il pesetto $2$ salga verso l'alto mentre $3$ scenda. Chiamando $a_23$ l'accelerazione comune si scrive che:

\(\begin{cases} T'-m_2g = m_2a_{23} \\ T'-m_3g = -m_3a_{23} \end{cases} \implies \begin{cases} T' =m_2(g +a_{23}) \\ (m_2-m_3)g = -(m_2+m_3)a_{23} \end{cases} \implies a_{23} = \frac{m_3-m_2}{m3+m2}g\)

da cui ricaverei anche che $T' = m_2(1+\frac{m_3-m_2}{m_3+m_2})g$

A questo punto $a_1 = 2\frac{m_2}{m_1}(\frac{m_3-m_2}{m_3+m_2})$ mentre $T = 2m_2(1+\frac{m_3-m_2}{m_3+m_2})g$

Inultile dire che con i calcoli che ho attuato i risultati sono sbagliati. Cosa mi sono perso? Addirittura pare che $a_3 \ne a_2$ bah...
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Re: Accelerazione in un sistema di carrucole e pesetti

Messaggioda Moralizzatore » 17/05/2018, 09:55

Nessuna idea?
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Messaggioda Sergeant Elias » 17/05/2018, 10:11

Orientando l'asse verticale complessivamente verso l'alto, $m_2$ e $m_3$ hanno accelerazioni relative opposte:

1. $m_1a_1=-m_1g+T_1$

2. $m_2a_2=-m_2g+T_2$

3. $m_3a_3=-m_3g+T_2$

4. $T_1=2T_2$

5. $a_2+a_1=-a_3-a_1$

Per determinare le accelerazioni:

$[a_1=(2m_2a_2-m_1g+2m_2g)/m_1] ^^ [a_3=(m_2a_2+m_2g-m_3g)/m_3] rarr$

$rarr a_2=(-m_1m_2+3m_1m_3-4m_2m_3)/(m_1m_2+m_1m_3+4m_2m_3)g=-48/323g$

Il fatto che:

$[m_1=m_2+m_3] ^^ [m_2=m_3] rarr [a_1=a_2=a_3=0]$

è senz'altro di buon auspicio.
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Re:

Messaggioda Moralizzatore » 17/05/2018, 15:16

In questo caso come si spiega che il filo ideale e quindi inestensibile non costituisca un vincolo tra $a_2$ ed $a_3$?
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Messaggioda Sergeant Elias » 17/05/2018, 19:50

Veramente, il vincolo cinematico di cui parli è proprio quello per cui $m_2$ e $m_3$ devono avere accelerazioni relative opposte:

$a_2+a_1=-a_3-a_1$

Si tratta del solito vincolo cinematico imposto sulle accelerazioni relative piuttosto che su quelle assolute.
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Re: Accelerazione in un sistema di carrucole e pesetti

Messaggioda Moralizzatore » 18/05/2018, 12:43

Ho compreso il motivo adesso, non avevo considerato di imporre la condizione sulla lunghezza dei fili! Grazie.
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