Taylor e funzioni composte

Messaggioda rossiii » 16/05/2018, 19:23

Salve ragazzi. Ci tengo a tenervi sempre sul pezzo :D :lol:

Il dubbio che vorrei dissipare oggi è il seguente:
Facendo gli sviluppi di Tayolor (centrati in 0) di funzioni composte mi ritrovo spesso a grattarmi la testa per quanto riguarda gli o-piccoli. Ad esempio (sviluppo fino al 4° ordine) di $ln(cos(x))$:
$ln(cos(x))$
$ln(1-x^2/2+x^4/24+o(x^5))$
$-x^2/2+x^4/24+o(x^5)-x^4/8+o(x^7)+o((-x^2/2+x^4/24+o(x^5))^2)$
(ho volutamente omesso subito i termini maggiori di $x^4$)

Ora, il termine che mi da fastidio è il seguente:
$o((-x^2/2+x^4/24+o(x^5))^2)$
come mi devo comportare?

E' giusto per esempio dire che per definizione $x^6=o(x^5)$ per $x->0$ e scrivere:
$o((-x^2/2+x^4/24+x^6)^2)$
e poiché \(\displaystyle x^4 \sim (-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+x^6)^2 \) per $x->0$
si ha $o(x^4)=o((-x^2/2+x^4/24+o(x^5))^2)$
e quindi
$ln(cos(x)) = ln(1-x^2/2+x^4/24+o(x^5))=-x^2/2+x^4/24+o(x^5)-x^4/8+o(x^7)+o(x^4)=-x^2/2-x^4/12+o(x^4)$

Questo ragionamento è corretto?
Voi come avreste fatto?
rossiii
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Re: Taylor e funzioni composte

Messaggioda Quinzio » 16/05/2018, 20:05

Mi sembra corretto.
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Re: Taylor e funzioni composte

Messaggioda Lebesgue » 16/05/2018, 21:16

Direi (se sbaglio correggetemi) che se hai $o(\mbox{polinomio})$ allora se $x^\alpha$ è la potenza più bassa del polinomio vale in generale che $o(\mbox{polinomio})=o(x^\alpha)$.
Una cosa che in generale vale è che se $P_n$ indica il polinomio di Taylor di ordine n e hai una funzione composta allora $f(g(x))=P_n(x)+o([g(x)]^n)$ (idealmente chiami $g(x)=t$ e quindi sviluppi $f(t)=P_n(t)+o(t^n)$ )
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Re: Taylor e funzioni composte

Messaggioda rossiii » 17/05/2018, 09:06

Lebesgue ha scritto:Direi (se sbaglio correggetemi) che se hai $o(\mbox{polinomio})$ allora se $x^\alpha$ è la potenza più bassa del polinomio vale in generale che $o(\mbox{polinomio})=o(x^\alpha)$.

Si questa regola la conosco anche io. Il problema però è che quando sviluppi funzioni composte, inevitabilmente l'o-piccolo della funziona esterna (l'ultima che si sviluppa) presenta oltre al polinomio anche un o-piccolo. In definitiva hai sempre qualcosa del tipo:
$o(P(x)+o(x^n))$

Quinzio ha scritto:Mi sembra corretto.

@Quinzio
Secondo te sarebbe stato corretto anche se avessi fatto il ragionamento su $o(x^5)$ fin da subito? Ad esempio qualcosa come:
$ln(cos(x))=ln(1-x^2/2+x^4/24+o(x^5))=ln(1-x^2/2+x^4/24+x^6)$
e trascurdando il termine $x^6$ poiché va oltre il mio grado di sviluppo
$ln(1-x^2/2+x^4/24)=-x^2/2+x^4/24-x^4/8+o((-x^2/2+x^4/24)^2)$
e per la regola citata da l'utente sopra
$-x^2/2+x^4/24-x^4/8+o(x^4)$
In questo modo anche è corretto?
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Re: Taylor e funzioni composte

Messaggioda Lebesgue » 17/05/2018, 18:49

rossiii ha scritto:Si questa regola la conosco anche io. Il problema però è che quando sviluppi funzioni composte, inevitabilmente l'o-piccolo della funziona esterna (l'ultima che si sviluppa) presenta oltre al polinomio anche un o-piccolo. In definitiva hai sempre qualcosa del tipo:
$o(P(x)+o(x^n))$


Ma $o(x^n)=x^{n+1}$ per $x\to0$
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Re: Taylor e funzioni composte

Messaggioda gugo82 » 17/05/2018, 22:14

Lebesgue ha scritto:Ma $o(x^n)=x^{n+1}$ per $x\to0$

E con $x^(n+1/2)$ come la mettiamo?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Taylor e funzioni composte

Messaggioda rossiii » 18/05/2018, 09:02

Lebesgue ha scritto:Ma $o(x^n)=x^{n+1}$ per $x\to0$


Infatti è quello che ho scritto io, volevo solo avere conferma della cosa
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Re: Taylor e funzioni composte

Messaggioda gugo82 » 18/05/2018, 12:57

Non ho capito.

L’esempio che ho scritto ti porta a concludere che in generale non è vero che $o(x^n) = x^(n +1)$... Quindi che conferma è?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Taylor e funzioni composte

Messaggioda rossiii » 19/05/2018, 14:36

gugo82 ha scritto:Non ho capito.

L’esempio che ho scritto ti porta a concludere che in generale non è vero che $o(x^n) = x^(n +1)$... Quindi che conferma è?

Scusami @gugo82. Devo aver saltato il tuo commento a piè pari! Mi stai dicendo che quindi tutto il ragionamento che ho presentato non è corretto? Tu come avresti risolto allora?
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