quesito rotazione conica.

Messaggioda sgabryx » 17/05/2018, 10:37

salve a tutti, sto preparando uno scritto di Geometria e algebra lineare e mi sono imbattuta in questa domanda:
-Dire se la seguente affermazione è vera e motiva la risposta.
"Data la conica C di equazione $ 5x^2+8y^2−3x−6y = 0 $ , non esiste nessuna rotazione del piano che trasforma la sua equazione nella forma $ αX^2+βY^2= γ $ "

io direi che è vera, in quanto osservando che manca il termine in xy vuol dire che la rotazione o è già avvenuta o comunque non può avvenirne una ulteriore perchè le due equazioni già hanno gli assi paralleli.
però non avendo soluzioni non sono sicura di quanto detto quindi chiedo anche un vostro parere.
Grazie per l'attenzione!
L'unico gesto esatto è la ripetizione.
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Re: quesito rotazione conica.

Messaggioda Cantor99 » 18/05/2018, 08:34

Come osservi, è sufficiente solamente traslare la conica per determinare la sua forma canonica. D'altra parte si può interpretare l'applicazione identica come una rotazione di angolo $\theta=0°$: quindi hai ruotato di $0°$ e hai traslato in un certo modo. La rotazione ci dovrebbe essere!
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Re: quesito rotazione conica.

Messaggioda dissonance » 18/05/2018, 17:48

Ma una rotazione di 0 radianti e una traslazione non è una rotazione.
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Re: quesito rotazione conica.

Messaggioda Cantor99 » 18/05/2018, 18:55

Ho inteso così: non esiste nessuna rotazione che trasforma quella conica in forma canonica, che è falso visto che posso ruotare di 0 radianti e traslare. Se deve essere unica (cioè senza null'altro) allora ho torto.
In ogni caso, visto che il centro della conica non è l'origine allora tale rotazione non esiste. Giusto dissonance?
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Re: quesito rotazione conica.

Messaggioda dissonance » 18/05/2018, 19:44

Cantor99 ha scritto:In ogni caso, visto che il centro della conica non è l'origine allora tale rotazione non esiste. Giusto dissonance?

Si, secondo me è quella la spiegazione geometrica. La spiegazione algebrica è che qualsiasi cambio di variabile \(X=ax+by, Y=cx+dy\) non può produrre dei termini di primo grado se applicata a \(\alpha X^2+\beta Y^2\).
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