Area laterale di un cono con integrali

Messaggioda keziah » 17/05/2018, 15:00

Salve a tutti,

ho dei dubbi su come calcolare l'area laterale del cono e una limitazione su z utilizzando gli integrali doppi. Più precisamente ho l'equazione del cono:

$ x^2+y^2=2z^2 $

con z compresa tra 0 e 4. In particolar modo non capisco che coordinate devo utilizzare e come trovare gli estremi di integrazione. Grazie per l'aiuto
keziah
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Re: Area laterale di un cono con integrali

Messaggioda pilloeffe » 18/05/2018, 04:05

Ciao keziah,

Benvenuto/a sul forum!

Farei così:

$ 2z^2 = x^2 + y^2 \implies z = f(x, y) = frac{sqrt{2}}{2}sqrt{x^2 + y^2} $

Dato che $z = frac{h}{R} sqrt{x^2 + y^2} $ e sappiamo che $h = 4 $ ne consegue che $4/R = frac{sqrt{2}}{2} \implies R = 4 sqrt{2} \implies m := h/R = 1/tan\alpha = frac{sqrt{2}}{2} $ ove $\alpha $ è il semiangolo dell'angolo al vertice del cono nell'origine degli assi cartesiani.

Tutto ciò premesso, si ha:

$ S_{lat} = int int_D ds = int int_D sqrt{1 + ((del f)/(del x))^2 + ((del f)/(del y))^2} dx dy = int int_D sqrt{1 + frac{m^2 x^2}{x^2 + y^2} + frac{m^2 y^2}{x^2 + y^2}} dx dy = $
$ = int int_D sqrt{1 + m^2} dx dy = sqrt{1 + m^2} int int_D dx dy = sqrt{1 + m^2} int_0^R int_0^{2\pi} \rho d\rho d\theta = \pi R^2 sqrt{1 + m^2} = frac{\pi R^2}{sin\alpha} $

Introducendo i valori $R = 4 sqrt{2} $ e $m = frac{sqrt{2}}{2} \implies m^2 = 1/2 $ del caso specifico si ottiene:

$ S_{lat} = \pi \cdot 32 \cdot sqrt{1 + 1/2} = \pi \cdot 32 \cdot sqrt{3/2} = 16 \pi sqrt{6} $
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Re: Area laterale di un cono con integrali

Messaggioda TeM » 18/05/2018, 06:57

Ciao keziah, ben iscritta anche da parte mia! :-)

Data la superficie1 di sostegno \[ \Sigma := \left\{ (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^3 : z = \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}, \; 0 \le z \le 4 \right\}, \]una volta parametrizzata come \[ (x,\,y,\,z) := \mathbf{r}(u,\,v) = \left(u\,\cos v, \; u\,\sin v, \, \frac{u}{\sqrt{2}}\right), \; \; \; \text{per} \; (u,\,v) \in A := \left[0,\,4\,\sqrt{2}\right] \times \left[0,\,2\,\pi\right] \] applicando banalmente la definizione di area e di integrale di superficie, si ha \[ |\Sigma| := \iint\limits_{\Sigma} 1\,\text{d}\sigma := \iint\limits_A \left|\mathbf{r}_u(u,\,v) \land \mathbf{r}_v(u,\,v)\right|\text{d}u\,\text{d}v = \dots = 16\,\sqrt{6}\,\pi\,. \] A te i conti. ;)

Note

  1. Osserva che è assegnata una superficie conica, non un solido conico di cui calcolare l'area di parte del bordo.
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Re: Area laterale di un cono con integrali

Messaggioda pilloeffe » 18/05/2018, 11:46

Metodo semplice, senza integrali, utile magari per avere una conferma della correttezza dei risultati ottenuti.

Se si immagina di tagliare la superficie laterale del cono di vertice $A$ lungo una sua generatrice $\bar{AB} $ e di distenderla su un piano si ottiene un settore circolare avente per arco lo sviluppo della circonferenza di base del cono ($\2\pi R $) e per raggio l’apotema $a = \bar{AB} = frac{R}{sin\alpha} = R sqrt{1 + m^2} $. Poiché un settore circolare è equivalente ad un triangolo avente per base l’arco rettificato e per altezza l'apotema $a$, la superficie di tale settore circolare è data dalla semplice formula della superficie di un triangolo:

$ S_c = frac{2\pi R \cdot a}{2} = \pi R^2 sqrt{1 + m^2} = frac{\pi R^2}{sin\alpha} $

che coincide con la superficie laterale del cono già ottenuta con gli integrali.
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